Matrixdecompositie

In de lineaire algebra is een matrixdecompositie een factorisatie van een matrix in meestal twee matrices die als product dus de oorspronkelijke matrix hebben. Bepaalde analyses en berekeningen zijn eenvoudiger uit te voeren op de decompositie. Er bestaan veel verschillende matrixdecomposities, die elk voor een bepaalde klasse van problemen gebruikt worden. Daaronder zijn:

VoorbeeldBewerken

In numerieke analyse worden verschillende decomposities voor de uitvoering van efficiënte matrixalgoritmes gebruikt.

Bij het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen   kan de matrix   bijvoorbeeld worden ontleed door gebruik te maken van LU-decompositie. De LU-decompositie factoriseert een matrix in een benedendriehoeksmatrix   en een bovendriehoeksmatrix   De systemen   en   vereisen minder optellingen en vermenigvuldigingen voor het oplossen, hoewel men bij onnauwkeurig rekenen, zoals met floating point getallen, significant meer cijfers nodig heeft.

Op soortgelijke wijze drukt de QR-decompositie   uit als   met   een unitaire matrix en   een bovendriehoeksmatrix. Het systeem   wordt opgelost door   en het systeem   wordt opgelost door "terugsubstitutie". Het aantal benodigde optellingen en vermenigvuldigingen is ongeveer dubbel zoveel als bij gebruik van de LU-decompositie, maar bij onnauwkeurig rekenen vereist de QR-decompositie niet meer cijfers, omdat de QR-decompositie numeriek stabiel is.