Lie-algebra

In de wiskunde is een Lie-algebra een algebraïsche structuur, die voornamelijk wordt gebruikt in de studie van meetkundige objecten, zoals Lie-groepen en differentieerbare variëteiten. Lie-algebra's werden geïntroduceerd in het kader van de studie van het concept van de infinitesimale transformaties. De term "Lie-algebra" (genoemd naar Sophus Lie), werd in de jaren dertig van de twintigste eeuw ingevoerd door Hermann Weyl.

DefinitieBewerken

Een Lie-algebra   is een (niet noodzakelijk associatief) type algebra over een lichaam (NL)/veld (B)  , met als binaire operatie op de vectorruimte   de zogeheten Lie-haak:

 

die voldoet aan de volgende axioma's[1]:

 
voor alle scalairen   en voor alle elementen  
 
voor alle  
Als de karakteristiek van   verschillend is van 2, is dit gelijkwaardig met de eis dat
 
voor alle  
 
voor alle  

Associatieve algebraBewerken

Voor elke associatieve algebra   met vermenigvuldiging  , kan men een Lie-algebra   construeren. Als vectorruimte is   gelijk aan   en de Lie-haak wordt gedefinieerd als de commutator in  :

 

De associativiteit van de vermenigvuldiging   in   impliceert de Jacobi-identiteit van de commutator in  . In het bijzonder geeft de associatieve algebra van  -matrices over een lichaam/veld   aanleiding tot de algemene lineaire Lie-algebra  . De associatieve algebra   wordt de omhullende algebra van de Lie-algebra   genoemd. Het is bekend dat elke Lie-algebra op die manier kan worden ingebed in een algebra die ontstaat uit een associatieve algebra. Zie universele omhullende algebra.

Andere voorbeeldenBewerken

Het bijzondere geval waarbij   steeds 0 is, voldoet op triviale wijze aan de axioma's en heet de commutatieve of abelse Lie-algebra.

Het vectorproduct maakt van de driedimensionale coördinatenruimte   over een willekeurig lichaam  , een Lie-algebra.

Als   een gladde variëteit is, en   haar raakbundel, dan vormen de sneden van   een reële vectorruimte. De Lie-haak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een Lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de Lie-algebra van een Lie-groep.

RepresentatiestellingBewerken

Elke Lie-algebra is isomorf met een deelalgebra van de lineaire transformaties van een vectorruimte, uitgerust met de commutatorhaak