Gelijkheid (wiskunde)

wiskunde

Gelijkheid, of meer formeel de gelijkheidssrelatie of identiteitsrelatie, is de tweeplaatsige relatie op een verzameling , die wordt gedefinieerd door

.

De identiteitsrelatie is het eenvoudigste voorbeeld van een equivalentierelatie op een verzameling, dat wil zeggen die binaire relaties die zowel reflexief, symmetrisch als transitief zijn. De gelijkheidsrelatie is ook antisymmetrisch. Deze vier eigenschappen bepalen op unieke wijze de gelijkheidsrelatie op elke verzameling en maken gelijkheid de enige relatie op , die tegelijkertijd een equivalentierelatie en een partiële orde is. Hieruit volgt dat gelijkheid in die zin de kleinste equivalentierelatie op enige verzameling is, dat het een deelverzameling van enig andere equivalentierelatie op is.

Een vergelijking is een bewering dat twee uitdrukkingen aan elkaar gerelateerd zijn door hun gelijkheid.

Logische formuleringenBewerken

De gelijkheidsrelatie is in de logische zin van het woord altijd zodanig gedefinieerd dat de dingen die gelijk aan elkaar zijn allemaal dezelfde en uitsluitend dezelfde eigenschappen hebben.

Voor iedere   en  , geldt dat   dan en slechts dan als gegeven enige propositie  , dat  .

Dit heet de vervangingseigenschap. Het is arbitrair om de vervangingseigenschap als definitie of als eigenschap aan te duiden. Sommige mensen definiëren gelijkheid in de filosofische zin van het woord als congruentie, maar vaak ook is gelijkheid slechts gedefinieerd als overeenkomende identiteit.

In de wet kan het verbindende 'dan en slechts dan als' worden afgezwakt tot 'als'. Dat komt op hetzelfde neer.

Voor alle reële getallen   en   geldt dat als  , dan ook  .

Eigenschappen van gelijkheidBewerken

De reflexieve eigenschap luidt als volgt:

Voor iedere   geldt dat  .

Deze eigenschap wordt algemeen in wiskundige bewijzen als een tussenstap gebruikt.

De symmetrische eigenschap stelt:

  • Voor iedere   en   is als   ook  .

De transitieve eigenschap stelt:

  • Voor iedere   en  , als   en  , dan geldt ook dat  .

De tweeplaatsige relatie 'is bij benadering gelijk aan' bijvoorbeeld tussen reële getallen en gehele getallen is zelfs, indien deze relatie nauwkeuriger wordt gedefinieerd, niet transitief. Op het eerste gezicht mag dit misschien wel zo lijken, maar veel kleine verschillen kunnen optellen tot iets groots.

Hoewel de symmetrische- en transitieve eigenschappen vaak als fundamenteel worden gezien, kunnen deze twee eigenschappen worden bewezen, indien de substitutie- en reflexieve eigenschappen in plaats van deze twee eigenschappen als uitgangspunt worden genomen.

Relatie met equivalentie en isomorfismeBewerken

Gelijkheid wordt soms onderscheiden van equivalentie of isomorfisme onderscheiden. Men kan bijvoorbeeld een onderscheid maken tussen breuken en rationale getallen, waar de laatsten equivalentieklassen van breuken zijn: de breuken

  en  

verschillen als breuk, als verschillende rijen van symbolen, van elkaar, maar zij zijn hetzelfde rationale getal, hetzelfde punt op de getallenlijn. Dit onderscheid leidt tot het invoeren van een quotiëntverzameling.

Op gelijkwaardige wijze zijn de verzamelingen

  and  

geen gelijke verzamelingen. De eerste verzameling wordt gevormd door letters, terwijl de tweede verzameling uit getallen bestaat. Beide bestaan zij echter uit verzamelingen van drie elementen en zijn isomorf, wat betekent dat er een bijectie tussen de twee verzamelingen bestaat, bijvoorbeeld

 ,

maar er zijn meer mogelijkheden.

Het onderscheid tussen gelijkheid en isomorfisme is van fundamenteel belang in de categorietheorie en is zelfs een motivatie voor de ontwikkeling daarvan geweest.