Dedekind-zèta-functie

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de dedekind-zèta-functie van een algebraïsch getallenlichaam , algemeen aangeduid door , een generalisatie van de riemann-zèta-functie. De riemann-zèta-functie, die een speciaal geval is waarin het lichaam van de rationale getallen is.

In het bijzonder kan de dedekind-zèta-functie worden gedefinieerd als een dirichletreeks. De dedekind-zèta-functie heeft een euler-product-expansie, voldoet aan een functionaalvergelijking en heeft een analytische voortzetting tot een meromorfe functie op het complexe vlak met slechts een enkelvoudige pool in . De uitgebreide riemann-hypothese stelt dat als en .

De dedekind-zèta-functie is genoemd naar Richard Dedekind, die deze functie in zijn aanvulling op Johann Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie introduceerde.[1]

DefinitieBewerken

De dedekind-zèta-functie   van het algebraïsch getallenlichaam   is gedefinieerd voor complexe getallen   met  , door de dirichletreeks:

 

waarin   als waarden de niet-nulzijnde idealen van de ring van de gehele getallen   van   heeft, en   de absolute norm van   is (die is gelijk aan de index   van   in   of equivalent aan de kardinaliteit van de quotiëntring  ). Deze som convergeert absoluut voor alle complexe getallen   met  .

VoetnotenBewerken

  1. (en) Narkiewicz, 2004, §7.4.1.