Hoofdmenu openen

In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een algebraïsch getallenlichaam in Nederland of algebraïsch getallenveld in België, ook korter getallenlichaam of getallenveld, een eindige, dus ook algebraïsche uitbreiding van het lichaam/veld van de rationale getallen . Het is een gevolg van de hoofdstelling van de algebra, dat ieder algebraïsch getallenlichaam een deelverzameling van de verzameling van de complexe getallen is.

PrincipeBewerken

Als aan   de nulpunten van een of meer polynomen worden toegevoegd, ontstaat een algebraïsch getallenlichaam als uitbreiding van  . Door aan   de algebraïsche getallen   toe te voegen die nulpunten zijn van een of meer polynomen, ontstaat een algebraïsch getallenlichaam dat wordt genoteerd als  . Het maakt geen verschil, dat het om de uitbreiding van   gaat waar algebraïsche getallen in het algemeen of waar alleen algebraïsch gehele getallen aan worden toegevoegd, omdat ieder algebraïsch getal element is van   met daar één algebraïsch geheel getal aan toegevoegd.

De verzameling rationale getallen   is een deelverzameling van elk algebraïsch getallenlichaam  . Als   opgevat wordt als een vectorruimte over  , heeft   een eindige dimensie, die de graad van het algebraïsche getallenlichaam   genoemd wordt.

VoorbeeldBewerken

De getallen  , een nulpunt van   en   een nulpunt van   zijn algebraïsche getallen. Het algebraïsche getallenlichaam dat ontstaat door aan   de algebraïsche getallen   en   toe te voegen, heet   De graad van   is 6.

LiteratuurBewerken

  • (en) Serge Lang, Algebraic Number Theory, Algebraïsche getaltheorie, 2e ed, Springer, 2000