Hoofdmenu openen

C*-algebra's (uitgesproken als "C-ster") vormen een belangrijk gebied van onderzoek in de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde.

Een C*-algebra is een Banach-algebra uitgerust met een involutie * zodanig dat voor iedere vector geldt dat [1]

Het prototypische voorbeeld van een C*-algebra is een complexe algebra A van lineaire operatoren op een complexe Hilbertruimte met twee extra eigenschappen:

DefinitieBewerken

In de context van een Banach-algebra   verstaat met onder involutie een afbeelding   die niet alleen haar eigen inverse is (de gebruikelijke definitie van een involutie) maar die bovendien als volgt de structuur van de Banach-algebra respecteert:[1]

  1.  
  2.  

Een C*-algebra is een Banach-algebra   uitgerust met een involutie   die voldoet aan de normgelijkheid

 

VoorbeeldenBewerken

Vierkante matricesBewerken

In de complexe Euclidische vectorruimte   wordt de norm van een vector   gegeven door

 

De complexe vectorruimte   der vierkante complexe  -matrices kan worden opgevat als een algebra van lineaire transformaties van   Ze wordt een Banach-algebra door de norm van een matrix te definiëren als

 

De operatie   die een matrix omvormt in zijn complex toegevoegde getransponeerde

 

is een involutie die aan de voorwaarden van een C*-algebra voldoet.

Complexe getallenBewerken

Als bijzonder geval hiervan is   zelf een complexe Banach-algebra, die met de operatie 'toegevoegd complex getal' een C*-algebra wordt.

Hilbertruimte-operatorenBewerken

Algemener vormt de Banach-algebra   der continue lineaire transformaties van een Hilbertruimte   een C*-algebra voor de involutie die elke operator   omvormt in zijn toegevoegde operator  : dit is de unieke afbeelding   die voldoet aan

 

Continue functiesBewerken

Als   een compacte topologische ruimte is, dan is de vectorruimte   der complexwaardige continue functies op   een Banach-algebra voor de puntsgewijze vermenigvuldiging van functies en voor de maximumnorm

 

De bewerking die met elke functie haar complex toegevoegde functie associeert, maakt van   een (commutatieve) C*-algebra.

DeelalgebraBewerken

Een gesloten Banach-deelalgebra van een gegeven C*-algebra die bovendien stabiel blijft onder de involutie, is opnieuw een C*-algebra. In combinatie met het hogergenoemde voorbeeld   levert dit het typische voorbeeld uit de inleidende paragraaf.

TegenvoorbeeldBewerken

De ruimte   hierboven, met dezelfde involutie (complex toegevoegde van de getransponeerde matrix) is niet noodzakelijk een C*-algebra als met een andere norm wordt gewerkt, bijvoorbeeld de norm die met een matrix de grootste absolute waarde van een van zijn matrixelementen associeert.