Hoofdmenu openen

Lineaire afbeelding

In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en ze spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten of modulen.
(Doorverwezen vanaf Lineaire operator)

In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart, wat inhoudt dat zowel de optelling als de scalaire vermenigvuldiging behouden blijven. Het beeld van de som van vectoren is gelijk aan de som van de beelden, en het beeld van een (scalaire) veelvoud van een vector is gelijk aan hetzelfde veelvoud van het beeld. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten en modulen.

DefinitieBewerken

Een afbeelding  , waarbij   en   vectorruimten over een lichaam (Ned. term; in België: veld)   zijn, heet lineair als voor elk paar   en elk element  :

 

en

 .

Zolang niet uitdrukkelijk gebruikgemaakt wordt van de omkeerbaarheid van scalairen, gaat bovenstaande definitie naadloos over naar algemenere lineaire afbeeldingen tussen modulen over een commutatieve ring. De theorie blijft een tijdlang analoog, behalve dat niet ieder moduul een basis heeft (nodig voor onder meer de dimensiestelling).

Bij een niet-commutatieve ring kan men eventueel spreken van een links-lineaire afbeelding tussen linkermodulen.

Combineren van lineaire afbeeldingenBewerken

De verzameling   van alle lineaire afbeeldingen van een vaste vectorruimte   naar een vaste vectorruimte  , beide over het lichaam  , is met een geschikte optelling en vermenigvuldiging met een scalair zelf ook een vectorruimte over  .

Voor de lineaire afbeeldingen   en   van   naar   wordt de som   gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element   de som van de beelden onder   en   toevoegt:

 

en wordt voor een element   het veelvoud   gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element   het  -veelvoud van het beeld onder   toevoegt:

 

De verzameling   is een deelruimte van de vectorruimte   over   van de functies van   naar  .


Van de lineaire afbeeldingen   en  , waarin   en   vectorruimten over het lichaam   zijn, is ook de samenstelling een lineaire afbeelding:

 .

Nulruimte en beeldruimteBewerken

De nulruimte   of kern van een lineaire afbeelding   is de verzameling van alle vectoren die door   op de nulvector worden afgebeeld. Het beeld van het domein van  , het bereik, heet ook de beeldruimte   van  . Zowel de nulruimte als de beeldruimte van een lineaire afbeelding is weer een lineaire ruimte.

VoorbeeldenBewerken

Voorbeeld 1Bewerken

De identieke afbeelding is lineair. De projectie op een vector is lineair. Lineaire afbeeldingen over eindigdimensionale vectorruimten kunnen door een matrix worden voorgesteld, en omgekeerd kan men met elke eindigdimensionale matrix een lineaire afbeelding associëren.

Voorbeeld 2Bewerken

De afbeelding   die een differentieerbare functie afbeeldt op haar afgeleide, is een lineaire afbeelding. Hierbij zijn   respectievelijk de verzamelingen van functies en van alle functies die minstens één keer differentieerbaar zijn.

Voorbeeld 3Bewerken

De afbeelding  , is lineair. De bijbehorende matrix is:

 

Het eerste element van de beeldvector is gelijk aan het inwendig product van de argumentvector (x,y) met de bovenste rij van de matrix; het tweede element van de beeldvector is gelijk aan het inwendig product van de argumentvector (x,y) met de onderste rij van de matrix.

Voorbeeld 4Bewerken

De afbeelding   is een lineaire afbeelding tussen twee modulen over de ring  . De kern van deze afbeelding is het  -moduul dat bestaat uit alle gehele getallenkoppels van de vorm  . Het beeld is  , de verzameling van alle drievouden.

Algemener kan elke abelse groep worden opgevat als een  -moduul, en elk groepsisomorfisme tussen abelse groepen wordt een lineaire afbeelding.

EigenschappenBewerken

DimensiestellingBewerken

De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen luidt: Laat   en   eindigdimensionale vectorruimten zijn en   een lineaire afbeelding van   in  . Dan is:

 ,

waarbij   het beeld en   de kern van   is.

Uit deze stelling volgt onmiddellijk de alternatieve stelling:

Zij   een lineaire afbeelding en  , dan is   injectief dan en slechts dan als   surjectief is.

Hieruit volgt weer: als   injectief of surjectief is, dan is   een bijectie, en dus vanwege de lineariteit een isomorfisme.