Hoofdmenu openen

DefinitieBewerken

Laat   en   topologische vectorruimten zijn en

 

een continue lineaire afbeelding.

Noteer   voor de duale topologische vectorruimte van   met de zwak-*-topologie. De elementen van   zijn de continue lineaire afbeeldingen van   naar zijn scalairenlichaam   (de reële of de complexe getallen). Zij   de duale van  

De toegevoegde operator   wordt gedefinieerd via de rechtse samenstelling met de transformatie  

 

Met andere woorden, voor een gegeven continue lineaire afbeelding

 

is de afbeelding   gedefinieerd door het functievoorschrift

 .

Uit dit voorschrift volgen onmiddellijk de continuïteit en de lineariteit van   Men kan ook aantonen dat de aldus gedefinieerde toegevoegde operator   een continue lineaire afbeelding is.

Genormeerde vectorruimteBewerken

Als   en   genormeerde vectorruimten zijn, dan kunnen de duale vectorruimten   en   ook worden opgevat als genormeerde vectorruimten. De hierboven gedefinieerde toegevoegde operator   is eveneens continu ten opzichte van deze normen, en

 

Getransponeerde matrixBewerken

Als   en   eindigdimensionaal zijn, met dimensies respectievelijk   en   en voor beide wordt een vaste basis gekozen, dan is elke lineaire afbeelding van   in   continu en wordt deze uniek bepaald door een  -matrix.

Ten opzichte van de canonieke duale bases van de duale ruimten wordt een lineaire afbeelding bepaald door de matrix   de getransponeerde van de matrix   ten opzichte van de oorspronkelijke bases.

HilbertruimtenBewerken

Als   en   (pre-)hilbertruimten zijn, dan zijn ze beide uitgerust met een inproduct. Het inproduct zorgt voor een natuurlijke identificatie van de ruimte met haar duale:

 

In complexe hilbertruimten ( ) geldt de bijkomende complicatie dat het inproduct niet symmetrisch, maar Hermitisch is. In de matrixnotatie heeft dit als gevolg dat de toegevoegde operator niet de getransponeerde matrix heeft, maar de complex geconjugeerde van de getransponeerde matrix.

Men spreekt in dit verband van de toegevoegde of geadjungeerde matrix. Let op het onderscheid met geadjugeerde matrix.

Zelftoegevoegde continue operatorBewerken

Als   een continue lineaire transformatie is van een hilbertruimte ( ), dan kunnen   en   met elkaar vergeleken worden. In het eindigdimensionale geval komt dit overeen met vierkante matrices.

Men noemt   zelftoegevoegd als  

Onbegrensde operatoren in een hilbertruimteBewerken

De kwantummechanica maakt vaak gebruik van lineaire transformaties van een deelverzameling van de hilbertruimte die niet kunnen worden uitgebreid tot continue lineaire transformaties van de gehele hilbertruimte. Bekende voorbeelden zijn de Laplace-operator   in   en algemener de meeste Schrödinger-operatoren.

Als

 

een (niet noodzakelijk continue) lineaire afbeelding is van een deelvectorruimte   van de hilbertruimte naar diezelfde hilbertruimte, en het domein   van   is topologisch dicht in   dan kan men nog steeds de toegevoegde operator   definiëren met het voorschrift

 

Het domein van   bestaat uit de vectoren   waarvoor het linkerlid een continue lineaire functionaal in   oplevert.

Men kan aantonen dat   een gesloten operator is, dat wil zeggen dat zijn grafiek

 

een gesloten deelverzameling is van  .

Als   zelf een gesloten, dicht gedefinieerde operator is, dan is   eveneens dicht gedefinieerd:

 ,

en in dat geval is de toegevoegde van   opnieuw   zelf:

 .

Symmetrische onbegrensde operatorBewerken

  heet symmetrisch als

  en  .

Zelftoegevoegde onbegrensde operatorBewerken

  heet zelftoegevoegd als

  en  .