Basistransformatie

In de lineaire algebra is een basistransformatie een overgang van de ene basis op een andere. Een basistransformatie wordt beschreven door een matrix, die de coördinaten ten opzichte van de ene basis omrekent in de coördinaten ten opzichte van de andere basis.

Bij een actieve coördinatentransformatie blijven de coördinaten hetzelfde en verandert het object. Dat kan van plaats, grootte en vorm zijn, enzovoort. Bij een passieve veranderen de coördinaten en blijft het object hetzelfde. Een basistransformatie is dus een passieve coördinatentransformatie, en wel een lineaire coördinatentransformatie.

Wiskundige inleiding

bewerken

Zij   een vectorruimte met dimensie   over het lichaam (Ned) / veld (Be)   en   en   twee bases van  . De vectoren uit   kunnen worden uitgedrukt als lineaire combinatie van de vectoren in de basis  

 ,

Daarin zijn de   getallen   de coördinaten van de basisvectoren uit   ten opzichte van de basis  .

De basistransformatie kan door middel van de matrixvermenigvuldiging worden genoteerd als:

 

of als

 

waarin  ,   en   vierkante n×n-matrices zijn.

Definitie

bewerken

Een vector   heeft ten opzichte van beide bases de voorstellingen:

 

De relatie tussen de coördinaten   ten opzichte van   en de coördinaten   ten opzichte van   kan worden gevonden uit de relatie:

 

Omdat een vector op maar een manier als lineaire combinatie van basisvectoren kan worden geschreven, moet dus gelden dat:

 

Deze relatie is een lineaire afbeelding  :

 ,

of:

 

Omgekeerd geldt:

 

een relatie die de nieuwe coördinaten ten opzichte van   uitdrukt in de oude coördinaten ten opzichte van  .

De basisvectoren worden met   getransformeerd en de bijbehorende coördinaten met  . Maakt men bijvoorbeeld de basisvectoren langer, dan zullen de bijbehorende coördinaten dienovereenkomstig kleiner worden. Om deze reden worden vectoren wel contravariant genoemd.

Tensornotatie

bewerken

In tensornotatie met einsteinnotatie, waarbij een Latijnse letter met index voor iedere indexwaarde een vector voorstelt, samengevat:

Als

 

en

 

dan

 

Lineaire transformatie

bewerken

Een lineaire transformatie van de lineaire ruimte   wordt voor de basis   gerepresenteerd door de matrix   en voor de basis   door de matrix  . Er geldt:

 

Voorbeeld

bewerken