Hoofdmenu openen

In de lineaire algebra is een basistransformatie een overgang van de ene basis op een andere. Een basistransformatie wordt beschreven door de matrix van basisverandering, een matrix die de coördinaten ten opzichte van de ene basis omrekent in de coördinaten ten opzichte van de andere basis.

Bij een actieve coördinatentransformatie blijven de coördinaten hetzelfde, en verandert het object (van plaats, grootte en/of vorm, enz.), bij een passieve veranderen de coördinaten en blijft het object hetzelfde. Een basistransformatie is dus een passieve coördinatentransformatie, en wel een lineaire.

BasistransformatieBewerken

Zij   een vectorruimte met dimensie   over het lichaam   en   en   twee bases van  . De vectoren uit   kunnen uitgedrukt worden als lineaire combinatie van de vectoren in de basis  

 .

Daarin zijn de   getallen   de coördinaten van de basisvectoren uit   ten opzichte van de basis  .

Formeel kan de basistransformatie genoteerd worden als:

 .

De relatie tussen de beide bases wordt dus beschreven door de matrix   die als rijen de coördinaten heeft van de basisvectoren uit   ten opzichte van de basis  . Het is gebruikelijk de getransponeerde van deze matrix, die als kolommen de coördinaten heeft van de basivectoren uit   ten opzichte van de basis   te benoemen:  .

 .

CoördinatentransformatieBewerken

Een vector   heeft ten opzichte van beide bases de voorstellingen:

 .
 
Coördinatentransformatie  

De relatie tussen de coördinaten   ten opzichte van   en de coördinaten   ten opzichte van   kan gevonden worden uit de relatie:

 .

Omdat een vector maar op één manier als lineaire combinatie van basisvectoren kan worden geschreven, moet dus gelden dat:

 

Deze relatie is een lineaire afbeelding  :

 ,

of:

 

Omgekeerd geldt:

 

een relatie die de (nieuwe) coördinaten ten opzichte van   uitdrukt in de (oude) coördinaten ten opzichte van  .

De beide afbeeldingen beschreven door de matrices   en   heten coördinatentransformaties, en elk van de beide matrices wordt wel matrix van basisverandering genoemd. De coördinatentransformatie kan uitgedrukt worden in de coördinatiseringen   en  :

 .

Vergeleken met de basistransformatie

 

geldt dus:

 .

Daaruit blijkt dat de basisvectoren getransformeerd worden met   en de bijbehorende coördinaten met  . Dit is niet verwonderlijk, immers, maakt men bijvoorbeeld de basisvectoren langer, dan zullen de bijbehorende coördinaten dienovereenkomstig kleiner worden. Om deze reden worden vectoren wel contravariant genoemd.

TensornotatieBewerken

In tensornotatie met einsteinnotatie, waarbij een Latijnse letter met index voor iedere indexwaarde een vector voorstelt, samengevat:

Als

 

en

 

dan

 

Lineaire transformatieBewerken

Een lineaire transformatie van de lineaire ruimte   wordt voor de basis   gerepresenteerd door de matrix   en voor de basis   door de matrix  . Er geldt: