Stelling van Bachet-Bézout

De stelling van Bachet-Bézout is een stelling uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde. De stelling houdt in dat als de grootste gemene deler is van twee gehele getallen en die ongelijk zijn aan 0, er dan gehele getallen en bestaan, zodat

Etienne Bézout
Claude Gaspard Bachet de Méziriac

De getallen en heten hier bézoutgetallen of bézoutcoëfficiënten. Bovendien is het kleinste (strikt) positief getal dat kan worden geschreven als .

Men kan de stelling van Bachet-Bézout ook als volgt formuleren: de lineaire vergelijking

heeft altijd een oplossing.

GeschiedenisBewerken

De stelling van Bachet-Bézout is mede vernoemd naar Étienne Bézout, die de stelling bewees voor polynomen. Maar de stelling was al eerder voor de gehele getallen geponeerd door de Franse wiskundige Claude Gaspard Bachet de Méziriac.[1]

AlgoritmeBewerken

De bézoutgetallen   en   (zie hierboven) kunnen worden bepaald met behulp van het uitgebreide algoritme van Euclides. Ze zijn echter niet uniek. Als het paar   een oplossing is, dan zijn daaruit oneindig veel oplossingen te construeren. Deze worden namelijk gegeven door

 

Bewijs van de stellingBewerken

Het bewijs is constructief. Met het uitgebreide algoritme van Euclides kan voor elke   en   de ggd uitgedrukt worden als een gehele lineaire combinatie van resultaten die zelf weer gehele lineaire combinaties zijn van andere tussenresultaten. In een eindig aantal stappen laten die tussenresultaten zich uitdrukken als een gehele lineaire combinatie van   en  .

De lineaire diofantische vergelijking   heeft dan en slechts dan een gehele oplossing als   door de   is te delen.

In het geval van de stelling is  , dus is   door de   te delen, en heeft de vergelijking

 

een oplossing.

Stel nu dat er een   is, dat voor zekere door het Algoritme van Euclides bepaalde gehele   en   gelijk is aan:

 

Dan moet   een veelvoud van   zijn en is

 

VoorbeeldBewerken

De grootste gemene deler van 63 en 105 is 21. De stelling Bachet-Bézout beweert dat er een geheeltallige oplossing moet bestaan voor   en   in de vergelijking  

Een van de oplossingen is   en   inderdaad is  

Andere oplossingen zijn   en  

GeneralisatieBewerken

Algemeen zegt deze stelling dat er voor elk eindig aantal getallen   gehele getallen   zijn, zodat:

 

Dit kan met volledige inductie worden aangetoond.

GevolgenBewerken

Deze stelling heeft enkele belangrijke gevolgen. Deze worden hier niet bewezen, maar ze volgen vrijwel allemaal rechtstreeks uit de stelling.

  1. De diofantische vergelijking   in de variabelen   en   dus met gehele   en   heeft alleen dan oplossingen als de ggd van   en   een deler is van  
  2. Iedere gemeenschappelijke deler van   en   is ook deler van de ggd van   en  
  3. Voor alle gehele   geldt dat  
  4. Voor alle   en   geldt dat   een deler is van het product   In het bijzonder geldt dus dat   als   en   relatief priem zijn.
  5. Voor elke natuurlijke   en gehele   is er een   zodat  
  6. Voor alle   en delers   en   van   geldt dat   ook een deler is van   In het bijzonder geldt dat ieder getal dat tegelijk een veelvoud is van   en   ook een veelvoud is van   Het kleinste gemene veelvoud   van   en   is dus gelijk aan  

VoetnotenBewerken

  1. Tignol, Jean-Pierre, Galois' Theory of Algebraic Equations (Galoistheorie van de algebraïsche vergelijkingen). World Scientific, Singapore (2001). ISBN 981-02-4541-6.