Rotatiesymmetrie

Rotatiesymmetrie of draaisymmetrie is de eigenschap dat een object identiek blijft na een bepaalde rotatie. Het is daarmee een type van symmetrie. Dit object kan een tweedimensionale afbeelding zijn (draaiing om een draaipunt), maar ook een meerdimensionaal object (draaiing om een omwentelingsas).

Het triskelion dat op de Vlag van Man staat is drievoudig draaisymmetrisch

Rotatiesymmetrie van eindige orde

Bij rotatiesymmetrie van orde $n$ is het figuur/object hetzelfde bij draaiing over een minimale draaihoek van $360^{\circ }/n$. Zo is bijvoorbeeld het triskelion op de vlag van Man draaisymmetrisch van orde 3. Afwezigheid van rotatiesymmetrie is hetzelfde als rotatiesymmetrie van orde 1.

De symmetriegroep is $C_{n}$, dit is algebraïsch $Z_{n}$. Beide worden cyclische groep genoemd.

Rotatiesymmetrie over iedere hoek

Symmetrie met betrekking tot draaiing over elke hoek:

• tweedimensionaal: cirkelsymmetrie; voorbeelden zijn een cirkel en een homogene cirkelschijf, maar ook een figuur die is opgebouwd uit concentrische ringen
• driedimensionaal:
  • één as: cilindersymmetrie; voorbeelden zijn een kegel (ruimtelijke figuur) en een kegel van het kegelspel
    • samen met spiegelsymmetrie ten opzichte van een vlak loodrecht op de as, dit is de symmetrie van een massieve of holle eindige cilinder, maar ook een samenstel van eindige concentrische buizen
    • samen met translatiesymmetrie over elke afstand langs de as, dit is de symmetrie van een oneindige cilinder, met voorbeelden als hierboven, maar dan oneindig lang
  • alle assen door een bepaald punt: bolsymmetrie; voorbeelden zijn een homogene bol, maar ook een bol die is opgebouwd uit verschillende bolschillen; bij benadering geldt dit voor veel hemellichamen, waaronder de Aarde

Tussenvorm tussen rotatiesymmetrie van eindige orde en rotatiesymmetrie over iedere hoek

De symmetriegroep voortgebracht door draaiing over een irrationaal aantal omwentelingen correspondeert met een van de tussenvormen tussen rotatiesymmetrie van eindige orde en rotatiesymmetrie over iedere hoek. Er is daarbij rotatiesymmetrie over willekeurig kleine hoeken, maar niet alle hoeken. Een poging dit te visualiseren zou een resultaat geven dat visueel niet afwijkt van dat van rotatiesymmetrie over iedere hoek. Voor zichtbare (of voelbare) symmetrie zijn deze tussenvormen dus niet van belang.

Puntsymmetrie

Puntsymmetrie houdt in dat toepassing van puntspiegeling (in termen van positievectoren t.o.v. het punt is dit het nemen van het tegengestelde van elke vector) het object op zichzelf spiegelt. Het punt van symmetrie wordt wel het symmetriemiddelpunt genoemd.

In twee dimensies komt puntsymmetrie overeen met rotatiesymmetrie van orde 2. In drie dimensies is puntspiegeling een combinatie van spiegeling in een vlak en draaiing over 180° om een as loodrecht op dat vlak (zie ook de symmetriegroepen zonder rotatiesymmetrie van een orde groter dan twee).

Zie ook

• Symmetriegroep
• Rozet