Kromme van Agnesi

De kromme van Agnesi (soms ook heks van Agnesi) is in de vlakke euclidische meetkunde een derdegraads[1] kromme die synthetisch construeerbaar[2] is via een elementair meetkundig voorschrift en analytisch de grafiek is van een rationale functie.

Kromme van Agnesi (rood) en constructie; K is de definiërende cirkel.

De kromme is vernoemd naar de Italiaanse wiskundige Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), die over deze kromme in 1748 publiceerde in haar boek Instituzione analytice. Ook Pierre de Fermat en Guido Grandi[3] schreven over deze kromme, respectievelijk in 1666 (in: Méthodes de Quadrature) en 1703 (in: Quadratura).

Constructieve definitieBewerken

Het punt   is een variabel punt van de vaste cirkel  ; zie bovenstaande figuur. De punten   en   zijn de eindpunten van een vaste middellijn van  . De lijn   snijdt de raaklijn   in   aan   in het punt  . Het punt   is hoekpunt van de in   rechthoekige driehoek  .
De kromme van Agnesi is dan de meetkundige plaats van   als   de cirkel doorloopt.

Afleiding van de vergelijkingBewerken

 
Familie van krommen van Agnesi

In een standaard euclidisch assenstelsel is   en is een vergelijking van de definiërende cirkel   met straal   en middelpunt op de  -as (zie de figuur hierboven):

 

Een vergelijking van de raaklijn   in   aan die cirkel is   en die van de lijn   door   en door een willekeurig punt   op   is  . De coördinaten   van het punt   voldoen nu aan het stelsel vergelijkingen:

  zodat:  , terwijl  .

Voor de coördinaten   van het punt   geldt dan:

 

Eliminatie van   uit beide relaties geeft dan de vergelijking van de kromme:

 

Voor verschillende posities van   op de  -as ontstaat een familie van krommen van Agnesi, waarvan   de parameter is.

EigenschappenBewerken

Uit de vergelijking kunnen de volgende eigenschappen van de kromme worden afgeleid.

  • De  -as is symmetrie-as van de kromme.
  • De kromme nadert voor grote positieve en negatieve waarden van   asymptotisch tot de  -as, dat wil zeggen tot de raaklijn in het punt   aan de cirkel  .
  • De kromme heeft een top in het punt  . De definiërende cirkel raakt daar drievoudig aan de kromme: de cirkel is de osculerende cirkel van de kromme in het punt  .
  • De kromme heeft twee reële buigpunten, namelijk de punten  .
  • De oppervlakte van het vlakdeel tussen de kromme en de  -as is gelijk aan  .[4]
  • De inhoud van het lichaam dat ontstaat door de gehele kromme te wentelen om de  -as, is gelijk aan  .[4]

EtymologieBewerken

 
Figuur 135 uit Agnesi's boek (1748): de kromme en de constructie ervan

Agnesi gaf, evenals Grandi, aan de kromme de naam versiera.[5][6] In die tijd was het in Italië gebruikelijk om woorden als aversiero of versiera (afgeleid van Lat. adversarius = tegenstander) te gebruiken als er over de duivel gesproken werd. Versiera werd in het bijzonder gebruikt om de vrouw van de duivel, een ‘heks’, aan te duiden.[7] Hierdoor vertaalde Cambridge-hoogleraar John Colson (1680-1760)[8] de naam van de kromme abusievelijk als witch (= heks).[9] Latere werken over Agnesi en over de kromme suggereren andere oorzaken van het tot stand komen van deze onjuiste vertaling.[10][11]
Dirk Struik vermeldt:[6]

The word [versiera] is derived from Latin vertere, to turn, but is also an abbreviation of Italian avversiera, female devil. Some wit in England once translated it “witch”, and the silly pun is still lovingly preserved in most of our textbooks in the English language.
We have taken Agnesi’s introduction of the versiera as one of our selections to honor the first important woman mathematician since Hypatia (fifth century a.d.).
The curve had already appeared in the writings of Fermat (Oeuvres, I, 279-280; III, 233-234) and of others; the name versiera is from Guido Grandi (Quadratura circuli et hyperbolae, Pisa, 1703). [...] The first to use the term "witch" in this sense may have been B. Williamson (1875) in: Integral calculus (p. 173).

ToepassingenBewerken

(1) Voor   is het functievoorschrift van de kromme  . Als nu de geschaalde functie   wordt beschouwd, dan is de oppervlakte van het vlakdeel tussen de grafiek en de  -as gelijk aan  . En daarmee komt de laatste functie overeen met de kansdichtheidsfunctie van de standaard Cauchy-verdeling.

(2) De functie met het voorschrift   werd door Leibniz gebruikt om een formule voor   af te leiden. Deze formule, de oneindige reeks:

 

kan worden gevonden door via de integraal van de functie en de taylorontwikkeling van de functie, te weten:

 

deze laatste uitdrukking term voor term te integreren op het interval  .[12]

Externe linksBewerken