Hoofdmenu openen

In de analyse is een buigpunt van een kromme een punt op de kromme waar de kromming van teken verandert. De vorm van de kromme verandert van hol (concaaf) in bol (convex) of omgekeerd.

KarakteriseringBewerken

 
Voorbeeld van een kromme met buigpunt

In een buigpunt stellen we de kromme lokaal voor door de functie   Is de kromme de grafiek van een functie dan geven we die ook door   aan. In het buigpunt is   in ieder geval differentieerbaar. Afhankelijk van de verdere differentieerbaarheid van   in het buigpunt, laat zich een buigpunt als volgt karakteriseren:

Als ook de tweede afgeleide bestaat kan deze laatste voorwaarde ook geformuleerd worden als:

  • in het buigpunt wisselt de tweede afgeleide van   van teken (het teken van de tweede afgeleide geeft immers de kromming aan).

Een buigpunt kan een stationair punt op de grafiek van een functie zijn, maar in een buigpunt is een functie nooit extreem.


De bovenstaande karakteriseringen geven de weg aan waarlangs buigpunten opgespoord kunnen worden.

In het geval de functie voldoende vaak differentieerbaar is, is de eis dat het teken van de tweede afgeleide rond dit punt van teken wisselt, equivalent met de eis dat de eerste van 0 verschillende afgeleide van oneven orde moet zijn (derde, vijfde, ...). Indien de eerste van 0 verschillende afgeleide van even orde is (tweede, vierde, ...) dan is er geen buigpunt.

VoorbeeldenBewerken

 
  (rood)   (groen) en   (blauw)

Voorbeeld 1Bewerken

We zoeken de buigpunten van de functie  

Op de figuur (rechts) is de functie samen met zijn eerste en tweede afgeleide weergegeven:   in het rood,   in het groen en   in het blauw.

We bepalen de eerste en de tweede afgeleide

  en  .

We zien dat de nulpunten van   overeenkomen met de nulpunten van de tweede afgeleide.

De eerste afgeleide bereikt er telkens een extremum en heeft er ook een constant teken rond zodat we steeds een buigpunt hebben.

De nulpunten van de cosinus zijn dus ook de buigpunten (analoog bij de sinus, sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus).

Voorbeeld 2Bewerken

 
 

We zoeken de buigpunten van de functie

 

De functie is in het blauw weergeven in de figuur (rechts).

We bepalen de eerste en tweede afgeleide

  en  

De tweede afgeleide is gelijk aan 0 voor  

Het teken van de eerste afgeleide rond dit punt is constant, namelijk negatief, dus is het een buigpunt (rood in de figuur). Het is geen stationair punt, omdat de eerste afgeleide geen 0 is. ,

Voorbeeld 3Bewerken

 
  (blauw),   (rood)

Ten slotte bekijken we een klassiek voorbeeld, de functie  

We bepalen opnieuw de eerste en de tweede afgeleide

  en  

De functie is in het blauw weergegeven in de figuur (rechts), samen met de eerste afgeleide (in het rood).

We zien dat de tweede afgeleide gelijk is aan 0 voor   Op de grafiek is duidelijk te zien dat het teken van de eerste afgeleide constant is rond dit punt, namelijk positief. Bijgevolg is er in de oorsprong een buigpunt.

Merk op dat ook de eerste afgeleide in dat punt 0 is, het is dus een stationair punt. De functie bereikt er echter geen extremum.

Zie ookBewerken