Buigpunt

In de analyse is een buigpunt van een kromme een punt op de kromme waar de kromming van aard verandert. De vorm van de kromme verandert daar van hol (concaaf) naar bol (convex), of omgekeerd.

KarakteriseringBewerken

 
kromme met buigpunt in  

De kromme kan de grafiek zijn van een functie   of lokaal zo worden voorgesteld. In het buigpunt is   in ieder geval differentieerbaar. Afhankelijk van de verdere differentieerbaarheid van   in het buigpunt, laat zich een buigpunt als volgt karakteriseren:

Als ook de tweede afgeleide bestaat, kan deze laatste voorwaarde ook geformuleerd worden als:

  • In het buigpunt wisselt de tweede afgeleide van   van teken. Het teken van de tweede afgeleide geeft immers de kromming aan. De derde afgeleide van   is in het buigpunt dus ongelijk aan 0.

Een buigpunt kan een stationair punt op de grafiek van een functie zijn, maar in een buigpunt heeft een functie nooit een extreme waarde. De bovenstaande karakteriseringen geven de weg aan waarlangs buigpunten opgespoord kunnen worden. In het geval dat de functie voldoende vaak differentieerbaar is, is de eis dat het teken van de tweede afgeleide rond dit punt van teken wisselt, equivalent met de eis dat de eerste van 0 verschillende afgeleide van oneven orde moet zijn. Is de eerste van 0 verschillende afgeleide van even orde, dan is er geen buigpunt.

VoorbeeldenBewerken

 
  
  
  

Voorbeeld 1Bewerken

Wat zijn de buigpunten van de functie  ?

In de figuur (rechts) is de functie samen met zijn eerste en tweede afgeleide weergegeven:   in het rood,   in het groen en   in het blauw.

De eerste en de tweede afgeleide zijn:

  en  

De nulpunten van   komen overeen met de nulpunten van de tweede afgeleide.

De eerste afgeleide bereikt daar telkens een extremum en heeft eromheen ook een constant teken, zodat er een buigpunt is.

De nulpunten van de cosinus zijn dus ook de buigpunten. Hetzelfde geldt voor de sinus, sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus.

Voorbeeld 2Bewerken

 
 

Zoek de buigpunten van de functie

 

De functie is in het blauw weergeven in de figuur rechts.

De eerste en tweede afgeleide zijn

  en  

De tweede afgeleide is gelijk aan 0 voor  .

Het teken van de eerste afgeleide rondom dit punt is constant, namelijk negatief, dus is het een buigpunt, rood in de figuur. Het is geen stationair punt, omdat de eerste afgeleide niet 0 is.

Voorbeeld 3Bewerken

 
  
  

Een klassiek voorbeeld is de functie  .

De eerste en de tweede afgeleide zijn:

  en  

De functie is in het blauw weergegeven in de figuur rechts, samen met de eerste afgeleide, in het rood.

De tweede afgeleide gelijk is aan 0 voor  . Op de grafiek is te zien dat het teken van de eerste afgeleide rondom   constant is en positief. Bijgevolg is er in de oorsprong een buigpunt.

Merk op dat ook de eerste afgeleide in dat punt 0 is; het is dus een stationair punt. De functie bereikt er echter geen extreme waarde.

Voorbeeld 4Bewerken

 
 

 ,  ,  ,   en  

 , maar   wisselt in   niet van teken. De eerste afgeleide van  , die in   van 0 verschilt, is de vierde afgeleide.   heeft in   dus geen buigpunt.