Jacobi-eigenwaardealgoritme

(Doorverwezen vanaf Jacobi-eigenwaarde algoritme)

Het jacobi-eigenwaardealgoritme is een iteratief algoritme uit de numerieke wiskunde, dat gebruikt wordt om alle eigenwaarden en eigenvectoren van kleine symmetrische matrices te berekenen. Het algoritme werd in het midden van de 19e eeuw door de Duitse wiskundig Carl Jacobi ontwikkeld.

AlgoritmeBewerken

Voor een reële, symmetrische  -matrix   geldt:

 ,

waarin   de diagonaalmatrix van eigenwaarden van   is en   kolomsgewijs de bijbehorende eigenvectoren van   bevat.

Het achterliggende idee bij het jacobi-eigenwaardealgoritme bestaat eruit om steeds het grootste element buiten de diagonaal van   met behulp van een Givens-rotatie naar 0 te brengen, om op die manier meer en meer de diagonaalmatrix te benaderen.

Er geldt het volgende iteratievoorschrift

 

met  

waarbij   en   steeds in de  -de en  -de   rij en kolom staan en   het absoluut grootste buitendiagonaalelement van   voorstelt, dus is voor alle  

 

De elementen van   volgen dan uit de volgende overweging:

De transformatie   zorgt speciaal voor de elementen op de kruising van de  -de en  -de rij en kolom voor de volgende veranderingen:

 

Aangezien   moet zijn, volgt hieruit voor

 

dat

 

en dus

 

Aangezien de rotatiematrices orthogonaal zijn en producten van orthogonale matrices ook weer orthogonaal zijn, wordt op deze wijze een orthogonale gelijksoortigheidstransformatie beschreven. Men kan aantonen dat de rij van matrices   naar een diagonaalmatrix convergeert. Deze matrix moet op grond van de gelijksoortigheid dezelfde eigenwaarden bezitten.

 

Over het algemeen volstaan   bewerkingen voor een  -matrix.

Klassiek en cyclisch jacobi-eigenwaardealgoritmeBewerken

Bij het klassieke jacobi-eigenwaardealgoritme wordt bij elke iteratie het op dat moment grootste element op nul gezet. Aangezien het cyclische jacobi-eigenwaardealgoritme daarentegen juist naar dit grootste element zoekt, wordt daar bij iedere iteratie steeds een Givens-rotatie op elk element binnen de strikte bovendriehoek uitgevoerd.

ReferentiesBewerken

  • (de) Kaspar Nipp, Daniel Stoffer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Ingenieure unter besonderer Berücksichtigung numerischer Aspekte (Lineaire algebra: een introductie voor ingenieurs met bijzondere inachtneming van de numerieke aspecten) VDF Hochschulverlag AG 2002, ISBN 978-3-7281-2818-8. Abschnitt 10.2 (S. 222-228) ((de) beperkte online-version (Google Books))

Externe linkBewerken