Grootste en kleinste element

In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een element van een deelverzameling van een geordende verzameling een grootste element van genoemd, als geen element van groter is, wat in termen van de orde betekent dat alle elementen van kleiner zijn of equivalent aan dat element. Twee elementen zijn equivalent als ze in de orde dezelfde plaats innemen. Het ene komt niet vóór het andere en het andere niet vóór het ene. Een element van heet een kleinste element van als geen element van kleiner is, wat inhoudt dat een kleinste element kleiner is of equivalent aan alle elementen van . Grootste of kleinste elementen bestaan niet in alle gevallen, en als ze bestaan hoeven ze niet eenduidig te zijn. Als in een partiële orde een grootste of kleinste element bestaat, is het uniek en dus het grootste of kleinste element van de deelverzameling.

DefinitieBewerken

Zij   een verzameling met preorde  , en   een deelverzameling van  .

Een element   heet een grootste element van   als voor alle   geldt dat  .

Een element   heet een kleinste element van   als voor alle   geldt dat  .

EigenschappenBewerken

Grootste elementen van   zijn onderling equivalent, kleinste ook.

Een grootste element is een maximaal element, een kleinste element is een minimaal element.

VoorbeeldenBewerken

Op de complexe getallen is de relatie   als   een (totale) preorde. In de deelverzameling   zijn alle getallen op de eenheidscirkel grootste elementen van  . Er zijn verder geen maximale elementen.

In een partieel geordende verzameling   met   en   en   zijn   en   wel maximale elementen (van heel  ), want er bestaan geen grotere elementen, maar het zijn geen grootste elementen, want ze zijn niet groter dan alle elementen van   (in het bijzonder geldt niet   of  ). Aan de andere kant is   in dit voorbeeld zowel een minimaal als een kleinste element.

Op de verzameling   van drie elementen is een preorde gedefinieerd door:   en  , dus   en   zijn equivalente elementen ( ). Beide zijn met   onvergelijkbaar. Dan zijn alle elementen zowel maximaal element als minimaal element, maar zijn er geen grootste of kleinste elementen.

BegrensdheidBewerken

Een begrensde partieel geordende verzameling is een partieel geordende verzameling die zowel een grootste als een kleinste element heeft.

Minimum en maximumBewerken

De definitie van minimum en maximum heeft betrekking op verzamelingen met een totale orde.