In de multivariabele analyse geeft de impliciete functiestelling voorwaarden waaronder een relatie tussen twee of meer variabelen leidt tot een functionele relatie tussen de variabelen. Onder die voorwaarden zijn een of meer variabelen impliciet een functie van de overige. Het is echter niet in alle gevallen mogelijk voor zo'n impliciet gegeven functie ook een expliciete uitdrukking te vinden.

De stelling is een hulpmiddel dat het mogelijk maakt sommige relaties om te zetten in functies. Dit kan begrepen worden door de relatie in een grafiek weer te geven. Weliswaar is het mogelijk dat er geen enkele functie is, waarvan de grafiek overeenkomt met de gehele grafiek van de relatie, maar een deel van de grafiek kan soms geïnterpreteerd worden als de grafiek van een functie. De impliciete-functiestelling geeft een voldoende voorwaarde waaronder een dergelijke functie bestaat.

De impliciete-functiestelling stelt dat, indien de vergelijking (een impliciete functie) voldoet aan een aantal zwakke voorwaarden met betrekking tot haar partiële afgeleiden, men deze vergelijking in principe kan oplossen naar , althans op een voldoend kleine omgeving van een gegeven punt. De oplossing is in deze omgeving impliciet een functie van .

GeschiedenisBewerken

De Franse wiskundige Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) formuleerde voor het eerst een strenge vorm van de impliciete-functiestelling voor reële functies, en Ulisse Dini (1845–1918) generaliseerde de stelling voor functies van meer veranderlijken.[1]

VoorbeeldBewerken

 
De eenheidscirkel gegeven door de relatie  

In de figuur is de eenheidscirkel de grafiek van de relatie

 .

Deze grafiek kan niet beschouwd worden als de grafiek van één bepaalde functie. Wel kan in de omgeving van het punt A,   opgevat worden als functie van  , in dit geval expliciet als

 

Rond het punt B is   echter weer niet impliciet als functie van   bepaald, maar kan daar   als funcie van   opgevat worden.

StellingBewerken

Laat   en   open deelverzamelingen zijn van de reële getallen, en

 

een continu differentieerbare afbeelding.

Als voor zekere   geldt:

 

en

 

dan zijn er open omgevingen   van   en   van   en een eenduidig bepaalde continu differentieerbare afbeelding  , zodanig dat

 

en voor alle  ,   geldt

 .

Uit de impliciete betrekking   volgt door differentiatie

 ,

zodat de afgeleide van   voor   gegeven wordt door:

 

ReferentiesBewerken

  1. Krantz, Steven, The Implicit Function Theorem. Birkhauser (2003). ISBN 0-8176-4285-4.