Karakter (groepsrepresentatie)

een functie op de groep die aan elk groepselement het spoor van de bijbehorende matrix toevoegt

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het karakter van een groepsrepresentatie een functie op de groep die aan elk groepselement het spoor van de representatie-matrix toevoegt. Het karakter draagt in een compacte vorm de essentiële informatie over de representatie.

Georg Frobenius ontwikkelde de representatietheorie van eindige groepen in eerste instantie volledig op basis van karakter, zonder enige expliciete matrixrealisatie van de representaties zelf te gebruiken. Dit is mogelijk omdat een complexe representatie van een eindige groep (op isomorfisme na) door zijn karakter wordt bepaald. De situatie met representaties over een lichaam/veld van positieve karakteristiek, zogenaamde "modulaire representaties", is meer delicaat, maar Richard Brauer ontwikkelde ook hiervoor een krachtige theorie van karakters. Veel diepe stellingen over de structuur van eindige groepen maken gebruik van modulaire representaties.

DefinitieBewerken

Laat   een groep zijn op de eindigdimensionale vectorruimte   over het lichaam/veld  , en   een representatie van  . Het karakter van   is de functie   die aan het element   het spoor van   toevoegt:

 

Het karakter   heet irreducibel of enkelvoudig als de representatie   irreducibel is. De graad van het karakter   is de dimensie van  . Als   de karakteristiek 0 heeft, komt de graad overeen met de waarde  . Een karakter van de graad 1 heet lineair. Als de groep   eindig is en   heeft de karakteristiek 0, wordt de normaaldeler

 

de kern van het karakter   genoemd. De kern van   is juist de kern van de representatie  .

Zie ookBewerken