Clebsch-Gordan-coëfficienten

In de natuurkunde zijn de Clebsch-Gordan-coëfficienten, of CG-coëfficiënten, verzamelingen van getallen, die onder de wetten van de kwantummechanica tevoorschijn komen bij het koppelen van twee impulsmomenten.

CG-coëfficienten worden in de representatietheorie gebruikt, vooral met compacte Lie-groepen. De CG-coëfficienten geven de expliciete directe som decompositie van het tensorproduct van twee onherleidbare representaties (irreps) van de rotatiegroep in gevallen, waarin de getallen en typen onherleidbare representaties op abstract niveau al bekend zijn. De CG-coëfficienten danken hun naam aan de Duitse wiskundigen Alfred Clebsch (1833-1872) en Paul Gordan (1837-1912) die in de negentiende eeuw met een soortgelijk probleem in de invariantentheorie werden geconfronteerd.

In termen van de klassieke wiskunde kunnen CG-coëfficiënten, of althans degenen, die gekoppeld zijn aan de groep SO(3), directer worden gedefinieerd door middel van formules voor het vermenigvuldigen van sferische harmonischen. De toevoeging van spins in kwantummechanische termen kan rechtstreeks worden afgelezen uit deze aanpak. De onderstaande formules maken gebruik van de bra-ketnotatie van de Britse natuurkundige Paul Dirac.

Er zijn tabellen met de numerieke waarden van de Clebsch-Gordan-coëfficienten.

Clebsch-Gordan-coëfficienten

bewerken

Clebsch-Gordan-coëfficienten zijn de expansiecoëfficienten van de eigentoestanden van het totale impulsmoment in een ongekoppelde tensorproductbasis.

Hieronder worden deze CG-coëfficienten precies gedefinieerd door de definitie van impulsmomentoperatoren, impulsmomenteigentoestanden en het tensorproduct van deze impulseigentoestanden.

Uit deze formele definitie van het impulsmoment kunnen recursierelaties voor de CG-coëfficienten worden gevonden. Om numerieke waarden voor de CG-coëfficienten te vinden moet er een faseconventie worden gekozen. In de rest van dit artikel wordt de faseconventie van Condon en Shortley gebruikt.

Impulsmomentoperatoren

bewerken

Impulsmomentoperatoren zijn Hermitische operatoren  ,  , en   die voldoen aan de commutatierelaties

 

Met   de antisymmetrische tensor. Samen vormen deze drie operatoren een vectoroperator:

 

Zo kan men het inproduct van   met zichzelf definiëren:

 

En definiëren we de ladder operatoren:

 

Eigentoestanden van impulsmomentoperatoren

bewerken

Uit bovenstaande definities volgt dat   commuteert met  ,   en  

 

Hieruit volgt dat   en   een simultane set eigenfuncties hebben. Uit de definities volgt dat de enige mogelijke eigenwaarden worden gegeven door

 

De ladder operatoren verhogen en verlagen de waarde van  

 

met

 

De factor   ligt op een fasefactor na vast. De keuze die hier aangehouden wordt is in overeenstemming met faseconventie van Condon en Shortley. De eigentoestanden zijn orthogonaal en kunnen genormeerd worden gekozen:

 

Tensorproductruimte

bewerken

Zij   de   dimensionale vectorruimte opgespannen door

 

en   de   dimensionale vectorruimte opgespannen door

 

Het tensorproduct van de ruimten,  , heeft een   dimensionale ongekoppelde basis

 

Impulsmomentoperatoren werkend op   zijn gedefinieerd door

 

en

 

De totaal impulsmomentoperator is gedefinieerd door

 

De componenten van de totaal impulsmoment operator voeldoen aan de commutatierelaties

 

Hieruit volgt dus dat de totaal impulsmoment operator daadwerkelijk een impulsmoment operator is, en dat zijn mogelijke eigenwaarden en eigentoestanden gegeven worden door

 

Het aantal van totaal impulsmomenteigentoestanden is gelijk aan de dimensie van  

 

De totaal impulsmomenttoestanden vormen een orthonormale basis van  

 

Formele definitie van Clebsch-Gordan-coëfficienten

bewerken

De totale impulsmomenttoestanden kunnen worden geëxpandeerd door gebruik te maken van de volledigheidsrelatie in de ongekoppelde basis

 

De expansiecoëfficienten   worden Clebsch-Gordan-coëfficienten genoemd.

Door het toepassen van de operator

 

aan beide kanten van de vergelijking kan men laten zien dat de Clebsch-Gordan-coëfficienten kunnen alleen ongelijk aan nul zijn als

 

Aangezien de maximale projectie gegeven wordt door   volgt uit de kwantisatie van impulsmoment dat  . Naast alle   toestanden met   kan men dit argument herhalen voor  . Dit gaat echter niet eeuwig door, en met een beetje boekhouden vinden we dat moet gelden

 

Dit zijn de zogenaamde driehoeks relaties.

Recursierelaties

bewerken

De recursierelaties werden ontdekt door de natuurkundige Giulio Racah. Toepassen van de totale impulsmomentladderoperatoren

 

aan de linker kant van de vergelijking levert

 

Als men dezelfde operatoren aan de rechterkant toepast levert dit

 

op, waarbij

 

Combinieert men deze resultaten met elkaar, levert dit de recursierelaties op voor de Clebsch-Gordan-coëfficienten

 

Neemt men de   en   krijgt men

 

In de Condon en Shortley faseconventie is de coëfficient   reëel en positief. Door gebruikmaken van de laatste vergelijking kan men alle andere CGC   bepalen. De normalizatie is bepaald door de eis dat de som van de kwadraten, die met de norm van de toestand correspondeert state  , gelijk aan een moet zijn.

De andere coëfficient ( ) in de recursierelatie kan worden gebruikt om alle CGC te vinden met  . Door iteratief gebruik van deze vergelijking kan men alle coëfficienten bepalen.

Deze manier om de CGC te vinden, wijst erop dat ze allemaal reëel zijn, in de Condon en Shortley conventie.

Orthogonaliteit

bewerken

Door de faseconventie van Condon en Shortley zijn de CGC reëel en dus

 

Dan vinden we, met de resolutie van de identiteit  , de relaties

 

en

 

Dit heeft tot gevolg dat de relatie

 

kan worden geïnverteerd. Dit geeft

 

Speciale gevallen

bewerken

Voor   worden de CGC gegeven door

 

Voor   en   hebben we

 

Voor   en   hebben we

 

Voor   hebben we

 

Symmetrie-eigenschappen

bewerken
 

Relatie met 3-jm-symbolen

bewerken

CGC zijn uit te drukken in 3-jm-symbolen

 

en de inverse relatie

 

De 3-jm-symbolen hebben een hogere symmetrie.

Relatie met Wigner-D-matrices

bewerken
 

Andere eigenschappen

bewerken
 


Zie ook

bewerken
bewerken

Literatuur

bewerken
  • (en) Quantum mechanics, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum’s Easy Oulines Crash Course, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN (10-)007-145533-7 ISBN (13-)978-007-145533-6
  • (en) Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd Edition), R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-873730
  • (en) Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addision Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 9780131461000
  • (en) Physics of Atoms and Molecules, B.H. Bransden, C.J.Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2
  • (en) The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
  • (en) Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
  • (en) McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
  • (en) Biedenharn, L. C., Louck, J. D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts. ISBN 0201135078.
  • (en) Brink, D. M., Satchler, G. R. (1993). Angular Momentum, 3rd. Clarendon Press, Oxford, "Ch. 2". ISBN 0-19-851759-9.
  • (en) Condon, Edward U., Shortley, G. H. (1970). The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press, Cambridge, "Ch. 3". ISBN 0-521-09209-4.
  • (en) Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press, Princeton, New Jersey. ISBN 0-691-07912-9.
  • (en) Messiah, Albert (1981). Quantum Mechanics (Volume II). North Holland Publishing, New York, "Ch. XIII". ISBN 0-7204-0045-7.
  • (en) Zare, Richard N. (1988). Angular Momentum. John Wiley & Sons, New York, "Ch. 2". ISBN 0-471-85892-7.