Hoofdmenu openen

IntegraalvormBewerken

In zijn integraalvorm zegt de formule:

 

Daarbij is   het elektrisch veld,   is de oppervlakte van een infinitesimaal gebiedje op het gesloten oppervlak   met een naar buiten gerichte normaalvector die zijn richting bepaalt,   is de lading die omsloten wordt door het oppervlak,   is de permittiviteit in vacuüm en   de integraal over het oppervlak   om het volume  .

DifferentiaalvormBewerken

In differentiële vorm wordt de vergelijking:

 

waarin   de divergentie van het elektrische veld   is en   de elektrische ladingdichtheid.

DiëlektricumBewerken

In een diëlektricum kan de wet van Gauss voor de elektrische verplaatsing   toegepast worden:

 

Daarin is   de vrije elektrische ladingdichtheid exclusief de dipolen die in het materiaal liggen.

Als   wordt uitgedrukt in C/m2, is de eenheid van   C/m3.

Voor een lineair materiaal wordt de vergelijking:

 ,

waarin   de van   onafhankelijke elektrische permitiviteit is.

Is   ook onafhankelijk van de plaats, dan kan dit worden herschreven als:

 .

PoissonvergelijkingBewerken

Een elektrisch veld is rotatievrij en bezit daarom een potentiaal  . Er geldt:

 

Past men de differentiaalvorm toe, dan ontstaat de poissonvergelijking voor de potentiaal.

 

of:

 

waarin   de laplace-operator is.

Wet van CoulombBewerken

In het speciale geval van een boloppervlak met een centrale lading, staat het elektrisch veld loodrecht op het oppervlak, met dezelfde grootte in alle punten, wat in vacuüm deze eenvoudiger uitdrukking levert:

 

met   de elektrische veldsterkte op straalafstand   buiten de bol tot het middelpunt van de bol is,   de ingesloten lading en   de permittiviteit van vacuüm. Er geldt

  F/m.[1]

De bekende omgekeerde afhankelijkheid van het elektrisch veld van het kwadraat van de afstand, in de wet van Coulomb, volgt dus uit de wet van Gauss.

De stelling van Gauss kan gebruikt worden om aan te tonen dat er geen elektrisch veld is binnen een Kooi van Faraday zonder elektrische ladingen. De wet van Gauss is het elektrostatisch equivalent van de wet van Ampère, die magnetisme behandelt. Beide vergelijkingen werden later geïntegreerd in de wetten van Maxwell.

De stelling werd geformuleerd door Carl Friedrich Gauss in 1835, maar werd pas na zijn dood in 1867 gepubliceerd.

Zwaartekracht en magnetisch veldBewerken

Door wiskundige gelijkenis, heeft de wet soms een toepassing voor andere fysische grootheden die omgekeerd evenredig zijn met een kwadraat, zoals zwaartekracht, magnetisch veld of de intensiteit van straling (zie omgekeerde kwadratenwet). Zie ook divergentiestelling. Deze varianten van de wet van Gauss wijken enigszins af: het zwaartekrachtsveld kent geen negatieve massa en het magnetisch veld ontbeert monopolen, zodat div B = 0 in plaats van de dichtheid rho.

Divergentiestelling van GaussBewerken

De wetten van Gauss voor het elektrisch en magnetisch veld zijn speciale gevallen van de algemeen geldende wiskundige stelling:

 

die zegt dat de divergentie van een vectorveld geïntegreerd over een volume gelijk is aan de flux geïntegreerd over de rand van dat volume.

Hieruit volgt vrij eenvoudig dat

 

en

 

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken