Wet van Gauss

De wet van Gauss geeft in de natuurkunde de relatie weer tussen de elektrische flux door een gesloten oppervlak en de elektrische lading binnen het oppervlak. Dit is een toepassing van de divergentiestelling van Gauss uit de analyse.

Elektromagnetisme
Lightning strike jan 2007.jpg
elektriciteit · magnetisme
Wetenschappers

IntegraalvormBewerken

In integraalvorm luidt de relatie:

 

Daarbij is   het elektrische veld,   de oppervlakte van een infinitesimaal gebiedje op het gesloten oppervlak   met een naar buiten gerichte normaalvector die zijn richting bepaalt,   is de netto lading die omsloten wordt door het integratie-oppervlak,   is de permittiviteit in vacuüm en   de integraal over het oppervlak   om het volume  .

Hierbij maakt het niet uit waar de lading zich binnen het oppervlak bevindt, of hoe de lading binnen het oppervlak is verdeeld.

DifferentiaalvormBewerken

In differentiaalvorm wordt de vergelijking:

 

waarin   de divergentie van het elektrische veld   is en   de ladingsdichtheid.

DiëlektricumBewerken

In een diëlektricum kan de wet van Gauss voor de elektrische verplaatsing   toegepast worden:

 

Daarin is   de vrije elektrische ladingsdichtheid exclusief de dipolen die in het materiaal liggen.

Als   wordt uitgedrukt in C/m2, is de eenheid van   C/m3.

Voor een lineair materiaal wordt de vergelijking:

 ,

waarin   de van   onafhankelijke elektrische permittiviteit is.

Is   ook onafhankelijk van de plaats, dan kan dit worden herschreven als:

 .

PoissonvergelijkingBewerken

Een elektrisch veld is rotatievrij en bezit daarom een potentiaal  . Er geldt:

 

Past men de differentiaalvorm toe, dan ontstaat de poissonvergelijking voor de potentiaal.

 

of:

 

waarin   de laplace-operator is.

Wet van CoulombBewerken

In het speciale geval van een boloppervlak met een centrale lading, staat het elektrisch veld loodrecht op het oppervlak, met dezelfde grootte in alle punten, wat in vacuüm deze eenvoudiger uitdrukking levert:

 

met   de elektrische veldsterkte op straalafstand   buiten de bol tot het middelpunt van de bol is,   de ingesloten lading en   de permittiviteit van het vacuüm. Er geldt

  F/m.[1]

De bekende omgekeerde afhankelijkheid van het elektrisch veld van het kwadraat van de afstand, in de wet van Coulomb, volgt dus uit de wet van Gauss.

De stelling van Gauss kan gebruikt worden om aan te tonen dat er geen elektrisch veld is binnen een Kooi van Faraday zonder elektrische ladingen. De wet van Gauss is het elektrostatisch equivalent van de wet van Ampère, die magnetisme behandelt. Beide vergelijkingen werden later geïntegreerd in de wetten van Maxwell.

De stelling werd geformuleerd door Carl Friedrich Gauss in 1835, maar werd pas na zijn dood in 1867 gepubliceerd.

Divergentiestellingen van GaussBewerken

De wetten van Gauss voor het elektrisch en magnetisch veld zijn speciale gevallen van de divergentiestelling:

 

Hieruit volgt dat

 , de wet van Gauss voor elektrische velden

en

  voor magnetische velden

Deze twee wetten horen beide tot de wetten van Maxwell en worden de divergentiestellingen van Gauss genoemd.

De divergentiestelling heeft soms een toepassing voor andere fysische grootheden die omgekeerd evenredig zijn met een kwadraat, zoals zwaartekracht, magnetisch veld of de intensiteit van straling, volgens de omgekeerde kwadratenwet. Deze varianten van de wet van Gauss wijken enigszins af: het zwaartekrachtsveld kent geen negatieve massa en het magnetische veld ontbeert monopolen, zodat   in plaats van de dichtheid  .