Poissonvergelijking

Een poissonvergelijking is een partiële differentiaalvergelijking die in een cartesisch coördinatenstelsel onderstaande vorm heeft:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z)$

De divergentie van de gradiënt van de scalaire functie $\varphi (x,y,z)$ is gelijk aan een andere scalaire functie, $f(x,y,z)$.

Onafhankelijk van een coördinatenstelsel genoteerd met de operator $\nabla$ (nabla):

$\nabla ^{2}\varphi =f$

of met de laplace-operator:

$\Delta \varphi =f$.

De vergelijking is genoemd naar de Franse wiskundige, meetkundige en fysicus Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840).

Voorbeelden

De vergelijking komt onder andere voor in de elektriciteitsleer, als betrekking tussen de elektrische potentiaal $V$ en een elektrische ladingsdichtheid $\rho$.

$\nabla ^{2}V=-{\rho \over \varepsilon _{0}}$

In een ladingsvrij gebied gaat de vergelijking over in de laplace-vergelijking:

$\nabla ^{2}V=0$

Oplossingsmethoden

Er bestaan verscheidene methoden voor een numerieke oplossing. De relaxatiemethode, een iteratief algoritme, is daar een voorbeeld van.

Externe link

• (en) Poisson Equation op EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Bibliografie

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9