Val met wrijving

Een val met wrijving is de beweging van een voorwerp in een zwaartekrachtsveld, die gehinderd wordt door de wrijving of weerstand van een gas of van een vloeistof. De verticale neerwaartse beweging in het vacuüm of in een gas wordt vallen genoemd, in een vloeistof wordt het aangeduid als zinken.

LuchtweerstandBewerken

In de lucht vallen door de luchtweerstand voorwerpen met een verschillende vorm niet even snel naar beneden. In vacuüm, dus zonder luchtweerstand, vallen alle voorwerpen even snel, en is er sprake van een vrije val. De vergelijking voor de krachten in het geval van bijvoorbeeld val met luchtweerstand wordt gegeven door:

 

met

  de massa van het voorwerp
  de valversnelling
  de weerstandscoëfficiënt
  de dwarsdoorsnede (oppervlakte) van het voorwerp, haaks op de luchtstroom
  de verticale valsnelheid
  de dichtheid van de lucht

Omhoog is hier gekozen als de positieve richting langs de coördinaatas, zodat in de formule de valversnelling -g bedraagt.

Deze formule geldt voor alle voorwerpen met een reynoldsgetal ruim boven de kritieke waarde. Als een voorwerp vanuit stilstand valt is de vergelijking voor de valsnelheid

 

met de eindsnelheid

 

De snelheid kan worden geïntegreerd over de tijd en levert dan de verticale positie op als functie van de tijd:

 

Stokes-wrijvingBewerken

In een vloeistof wordt de weerstand gegeven door de wet van Stokes. De formule van de krachten op een vallende massa m in een viskeuze (stroperige) vloeistof luidt

 

met

  de massa van het vallende voorwerp
  de versnelling van het vallende voorwerp
  de wrijvingscoëfficiënt
  de verticale snelheid
  de valversnelling

Omhoog is hier gekozen als de positieve richting langs de coördinaatas, zodat in de formule de valversnelling -g bedraagt.
Als we beide kanten van de vergelijking door de massa m delen, en gebruiken dat de versnelling a de tijdsafgeleide van de snelheid v is ( ), krijgen we

 

Scheiding van variabelen dv en dt en integreren geeft

 

Uitwerken:

 

Natuurlijke logaritme wegwerken en omzetten in een exponent geeft ons een uitdrukking voor de snelheid v als functie van de tijd:

 

met als limiet de negatieve eindsnelheid:

 

Deze eindsnelheid is negatief, want naar beneden gericht.

Hoe diep is het voorwerp gevallen? Als op   de snelheid   en de hoogte van het voorwerp   is, dan vinden we door integratie van  :

 
 
 

Zie ookBewerken