Trisectrix van Maclaurin

De trisectrix van Maclaurin is een derdegraads[1] vlakke kromme die gebruikt kan worden als hulpmiddel bij de trisectie (driedeling) van een hoek. De naam “trisectrix” komt uit het Latijn: sectrix, vrouwelijk van sector = snijder; < secare = snijden; dus een kromme die een trisectie (driedeling) tot stand brengt. De kromme is vernoemd naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin die in 1742 als eerste de kromme bestudeerde.

Trisectrix van Maclaurin, voortgebracht door het snijpunt van twee roterende lijnen

Een generalisatie van de kromme is de sectrix van Maclaurin,[2] die behoort tot de familie van Plateau-krommen.

De kromme is de meetkundige plaats van de snijpunten van twee lijnen die elk roteren om twee vaste punten, waarbij de groottes van de hoeken tussen die lijnen en de verbindingslijn van beide punten zich verhouden als 1 : 3. In de uitgangspositie vallen beide lijnen met die verbindingslijn samen.

Tweede constructieBewerken

 
Trisectrix met een cirkel als uitgangspunt

Op een cirkel met middellijn  , middelpunt   en straal   ligt een punt  . De lijn   snijdt de middelloodlijn van het lijnstuk   in het punt  . Dan geldt:

  • De meetkundige plaats van het punt   is de trisectrix van Maclaurin als het punt   de cirkel doorloopt.

Immers, als in de M-gelijkbenig driehoek   geldt dat   is, dan is   en  , zodat  .

VergelijkingenBewerken

Poolcoördinaten

In driehoek   is, met   en  ,  . Dan is volgens de sinusregel:

 zodat:
 

Hiermee behoort de trisectrix van Maclaurin tot de familie van de conchoïden van De Sluse.

Carthesische coördinaten

Is in een standaard carthesisch coördinatenstelsel   en  , dan heeft de cirkel met middellijn   de vergelijking:

 

Is de vergelijking van de lijn   nu  , dan zijn de coördinaten van de punten   en het midden   van  :

  en  

De coördinaten van het punt   volgen dan uit de vergelijkingen van de twee lijnen die   bepalen, te weten de lijn   en de middelloodlijn van  :

  en  

Na enig rekenwerk blijkt dan, door eliminatie van   uit die vergelijkingen, dat de coördinaten van   voldoen aan de vergelijking:

 

EigenschappenBewerken

  • Uit de vergelijking van de trisectrix blijkt dat deze symmetrisch is in de x-as.
  • De lijn met vergelijking   is verticale asymptoot van trisectrix.
  • De kromme snijdt de x-as in de punten   en  .
  • Het punt   is dubbelpunt.
  • De raaklijnen in het dubbelpunt maken hoeken van   met de x-as.

Trisectie van een hoekBewerken

Is de kromme getekend, dan kan deze gebruikt worden om een gegeven hoek met grootte   in drie gelijk stukken te verdelen.

De hoek wordt zo geplaatst dat het hoekpunt samenvalt met het het middelpunt   van de hulpcirkel, waarbij een been van de hoek samenvalt met de symmetrieas van de kromme. Het snijpunt   van het andere been van de hoek met de kromme wordt dan verbonden met het dubbelpunt  . Dan is  .

Externe linksBewerken