Conchoïde van De Sluse

Een conchoïde van De Sluse is een vlakke derdegraads[1] kromme die tot de conchoïdes wordt gerekend, hoewel de definiërende, algemene eigenschap van die groep krommen niet overeenkomt met die van de conchoïde van De Sluse.

Familie van conchoïdes van De Sluse

Deze conchoïde werd in 1662 voor het eerste beschreven door de Waalse theoloog en wiskundige René François Walter, baron De Sluse (1622–1685).[2][3] De kromme wordt voor een vaste, reële waarde van het getal gedefinieerd door de volgende vergelijking in poolcoördinaten:

Voor verschillende waarden van ontstaat dan een familie van conchoïdes van De Sluse, waarvan de parameter is.

EigenschappenBewerken

 
Synthetische constructie van de conchoïde van De Sluse
  • Uit de poolvergelijking is direct af te leiden dat op de poolas   (  is de pool en   is een punt van de kromme) een punt   zó gelegen moet zijn dat:
  en  
  • De vergelijking van de kromme luidt in een standaard euclidisch coördinatenstelsel:
 
Daaruit blijkt dat het punt   een geïsoleerd punt is van élk exemplaar uit de familie dat niet door   gaat ( ). Deze eigenschap is niet af te leiden uit de poolvergelijking.
  • Uit de vergelijking blijkt ook dat de x-as symmetrie-as is van elke conchoïde van de familie.
  • Is  , dan ontaardt de conchoïde in een rechte lijn, namelijk de lijn met vergelijking  . Deze lijn is de asymptoot van de andere conchoïden in de familie.
  • Voor   is het snijpunt van zo’n kromme met de x-as het punt  .
  • Als   is, dan is het punt   een dubbelpunt. De kromme heeft dan een “lus” links van de y-as.
  • De richtkromme van de conchoïde is de lijn met vergelijking   (zie de afleiding van de vergelijking).

ConstructieBewerken

In een standaard euclidisch coördinatenstelsel is   de pool en  . De lijn   met vergelijking   is de richtlijn van de conchoïde.   is een punt van de eenheidscirkel. De halve lijn   snijdt   in het punt  .
Met   is in driehoek  :  , zodat  .
Het punt   ligt dan op die lijn met  , immers dan is:

 

Is nu  , waarbij   in   loodrecht staat op  , dan is in de R'-rechthoekige driehoek  :

 , zodat  

En hieruit volgt dat:

 

Het punt   is dus met passer en liniaal te construeren. Met andere woorden: élk punt van de conchoïde van De Sluse is met passer en liniaal te construeren.

Als dan   de eenheidscirkel doorloopt, is de meetkundige plaats van het punt   de beschouwde conchoïde.

Nb. Voor negatieve waarden van   beschrijft het R-spiegelbeeld   van het op deze manier gevonden punt   de conchoïde.

Afleiding van de vergelijkingBewerken

Voor de coördinaten   van het punt   geldt:

 

En dan is voor  :

 

De vergelijking van de poolas   is  , zodat:

 

En dit geeft:

 

Uit de relaties (1) en (2) hierboven blijkt dan door optelling:

 

zodat inderdaad:[1]

 

Andere "leden" van de De Sluze-familieBewerken

Externe linksBewerken