In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is de tensoralgebra (synoniem: vrije algebra) een wiskundige structuur die een gegeven vectorruimte zodanig uitbreidt, dat de resulterende verzameling gesloten is onder het tensorproduct.

Definitie

bewerken

Zij   een vectorruimte over een lichaam/veld  . De tensoralgebra over   is de vectorruimte over   gedefinieerd door de oneindige directe som van vectorruimten

 

waarin   het  -voudige tensorproduct van   met zichzelf is (in het bijzonder is   gelijk aan   zelf, opgevat als vectorruimte over  ). Op de tensoralgebra bestaat een unieke bilineaire afbeelding

 

die associatief is en die voor gewone vectoren samenvalt met het bekende tensorproduct.

Deze definitie kan zonder meer worden veralgemeend tot de situatie waarbij   slechts een commutatieve ring is (meestal wordt het bestaan van een eenheidselement geëist), en   een  -moduul.

  is een associatieve algebra. Hij is niet noodzakelijk commutatief. Als de ring   een eenheidselement heeft (dus zeker als   een lichaam is), dan heeft   een eenheidselement.

Verwante begrippen

bewerken

De uitwendige algebra over   is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van   met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van   over het (tweezijdige) ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm  .

De symmetrische algebra over   is de oneindige directe som van alle symmetrische tensorproducten van   met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van   over het ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm  .