Tensoralgebra

In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is de tensoralgebra (synoniem: vrije algebra) een wiskundige structuur die een gegeven vectorruimte zodanig uitbreidt, dat de resulterende verzameling gesloten is onder het tensorproduct.

DefinitieBewerken

Zij V een vectorruimte over een (commutatief) lichaam K. De tensoralgebra over V is de K-vectorruimte gedefinieerd door de oneindige directe som van vectorruimten

 

waar   het  -voudige tensorproduct van V met zichzelf is (in het bijzonder is   gelijk aan   zelf, opgevat als K-vectorruimte). Op de tensoralgebra bestaat een unieke bilineaire afbeelding

 

die associatief is en die voor gewone vectoren samenvalt met het bekende tensorproduct.

Deze definitie kan zonder meer worden veralgemeend tot de situatie waarbij K slechts een commutatieve ring is (meestal wordt het bestaan van een eenheidselement geëist), en V een K-moduul.

  is een associatieve algebra. Hij is niet noodzakelijk commutatief. Als de ring K een eenheidselement heeft (dus zeker als K een lichaam is), dan heeft   een eenheidselement.

Verwante begrippenBewerken

De uitwendige algebra over V is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van V met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van   over het (tweezijdige) ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm  .

De symmetrische algebra over V is de oneindige directe som van alle symmetrische tensorproducten van V met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van   over het ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm  .