Stelling van Cayley

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, zegt de stelling van Cayley dat elke eindige groep isomorf is met een ondergroep van een symmetrische groep. In het bijzonder is isomorf met een ondergroep van de symmetrische groep van zelf, die uit de permutaties van bestaat.

Geschiedenis

bewerken

Hoewel Burnside[1] de stelling toeschrijft aan Jordan[2], is volgens Eric Nummela[3] de juiste naam voor deze stelling : "de Stelling van Cayley". In zijn oorspronkelijk artikel uit 1854[4], waarin hij het begrip van een groep introduceerde, toonde Caley volgens Nummela aan dat de 'correspondentie' in de stelling een op een is, maar hij slaagde er niet om expliciet aan te tonen dat er sprake was van een homoformisme (en dus een isomorfisme). Nummela merkt op dat Cayley dit resultaat 16 jaar voor Jordan publiceerde.

Bewijs van de Stelling van Cayley

bewerken

Definieer voor   de afbeelding   door  . Dan is   en is  . Voor de transformatie   met   geldt:

 

dus   is een homomorfisme.

Verder is   en is   injectief, dus bijectief, en dus een isomorfisme.

Opmerking

bewerken

Voor de definitie van   is in dit bewijs gebruikgemaakt van de vermenigvuldiging van links met  , maar het bewijs kan ook geformuleerd worden met de rechtsvermenigvuldiging.

Zie ook

bewerken

Voetnoten

bewerken
  1. (en) Burnside,William, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, 1911, 2de editie
  2. (fr) Jordan,Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Gauther-Villars, Parijs, 1870
  3. (en) Nummela,Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly, vol 87, issue 3, 1980, 202-203
  4. (en) Cayley,Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1, Phil. Mag, vol 7, issue = 4, pages = 40-47, 1854