Driehoeksongelijkheid

De driehoeksongelijkheid zegt dat de kortste afstand tussen twee punten de rechte lijn word. Gaat men via een omweg over het punt P van het punt A naar het punt B dan is de afstand langer dan wanneer men direct in een rechte lijn gaat. Als P op de lijn tussen A en B ligt maakt het natuurlijk niets uit.

Meetkundige interpretatie

Voor elk drietal punten A, B en P in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen, geldt, met $\mathrm {|AB|}$ de afstand tussen A en B:

$\mathrm {|AB|<|AP|+|BP|}$

Als A, B en P op één lijn liggen en P bevindt zich tussen A en B, geldt

$\mathrm {|AB|=|AP|+|BP|}$

Driehoeksongelijkheid in een algemene vectorruimte

De eerste driehoeksongelijkheid

Voor een abstracte norm op een reële of complexe vectorruimte is de driehoeksongelijkheid een axioma:

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

voor alle vectoren $x$ en $y$.

Uit de ongelijkheid van Minkowski volgt dat de $L^{p}$-norm hieraan voldoet.

Dat deze vorm van de driehoeksongelijkheid overeenkomt met het axioma voor een afstand, blijkt uit het volgende:

De norm induceert een afstand $d(x,y)=|x-y|$ die voldoet aan de driehoeksongelijkheid voor een afstand:

$d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\leq |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y)$

Als op een reële of complexe vectorruimte een inwendig product $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ gegeven is, wordt door de definitie

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

een norm bepaald. Het bewijs dat dit voorschrift aan het axioma van de driehoeksongelijkheid voldoet, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.

$\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2{\hbox{Re}}\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \leq \langle x,x\rangle +2{\sqrt {\langle x,x\rangle }}{\sqrt {\langle y,y\rangle }}+\langle y,y\rangle =\left({\sqrt {\langle x,x\rangle }}+{\sqrt {\langle y,y\rangle }}\right)^{2}$

De tweede (ook wel omgekeerde) driehoeksongelijkheid

Toepassen van de eerste driehoeksongelijkheid op $u=(u-v)+v$ geeft:

$\|(u-v)+v\|\leq \|u-v\|+\|v\|$

dus

$\|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|$

Toepassen op $v=(v-u)+u$ geeft bovendien:

$\|(v-u)+u\|\leq \|v-u\|+\|u\|$

dus

$\|v\|-\|u\|\leq \|v-u\|$

maar dan ook:

$\|u\|-\|v\|\leq \|v-u\|$

dus

${\bigg |}\|u\|-\|v\|{\bigg |}\leq \|u-v\|$

Abstracte versie

De algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling $V$ geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een verder niet nader bepaalde symmetrische "afstandsfunctie" die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.