De behoefte aan formalisme in de rekenkunde werd niet op waarde geschat tot het werk van Hermann Grassmann, die in de jaren 1860 liet zien dat veel feiten in de rekenkunde kunnen worden afgeleid uit fundamentele eigenschappen van de opvolgeroperatie en de methode van de volledige inductie[1]. In 1888 stelde Richard Dedekind een collectie van axioma's voor over de getallen,[2] en in 1889 publiceerde Peano een meer precies geformuleerde versie ervan als een collectie van axioma's in zijn boek, Arithmetices principia, nova methodo exposita (Latijn voor: De beginselen van de rekenkunde op een nieuwe methode gepresenteerd).[3]
De axioma's van Peano bevatten drie typen van uitspraken. De eerste vier uitspraken zijn algemene uitspraken over gelijkheid; in moderne behandelingen worden deze uitspraken vaak gezien als axioma's van pure logica. De volgende vier axioma's zijn uitspraken binnen de predicatenlogica, zij gaan over de natuurlijke getallen, die de fundamentele eigenschappen van de opvolgeroperatie uitdrukken. Het negende en laatste axioma legt de methode van volledige inductie over de natuurlijke getallen vast. Een zwakker eerste-orde systeem, dat Peano-rekenkunde wordt genoemd, wordt verkregen door dit tweede-orde inductie-axioma te vervangen door een eerste-orde axiomaschema.
De volgende vier axioma's definiëren gelijkheid. Axioma's 2-4 zeggen dat gelijkheid reflexief, symmetrisch en transitief is. Axioma 5 zegt dat de verzameling van de natuurlijke getallen onder gelijkheid gesloten is.
Voor alle natuurlijke getallen geldt: .
Voor alle natuurlijke getallen en geldt: als dan .
Voor alle natuurlijke getallen en geldt: als en , dan .
Voor alle en geldt: als een natuurlijk getal is en , dan is ook een natuurlijk getal.
Vervolgens worden de eigenschappen van de opvolgerfunctie gedefinieerd.
Voor elk natuurlijk getal geldt, dat ook een natuurlijk getal is.
Voor elke geldt, dat onwaar is.
Voor alle natuurlijke getallen en geldt: als , dan .
Het laatste axioma is het inductieaxioma, dat de bewijzen met behulp van volledige inductie mogelijk maakt:
Elke verzameling , waarvoor geldt dat
als dan
bevat alle natuurlijke getallen.
Het inductieaxioma wordt gekwantificeerd over verzamelingen; dat maakt het een tweede-orde-axioma. Eerste-orde-axioma's, waarin alleen over natuurlijke getallen en niet over verzamelingen wordt gekwantificeerd, zijn in de praktijk handiger. Daarom wordt het inductieaxioma vaak vervangen door een axiomaschema, waardoor aftelbaar oneindig veel axioma's ontstaan. De eerste-orde-Peano-axioma's zijn echter echt zwakker dan de tweede-orde-Peano-axioma's.
Functies en relaties kunnen alleen met tweede-orde-logica worden gedefinieerd. Peano-rekenkunde kan echter ook met de eerste-orde-Peano-axioma's worden gebruikt. Daarvoor moet de taal worden uitgebreid met de symbolen en en moeten de bovenstaande vergelijkingen als axioma's worden ingevoerd.