Overleg:Annuïteit

Enige toelichting bij, of een afleiding van de formule lijkt me op zijn plaats. Bob.v.R 6 sep 2005 14:36 (CEST)

Formule aangepast

Voor het berekenen van een annuiteit heb ik gebruik gemaakt van de formule die beschikbaar was in de vorige versie. Ik kwam met deze berekening op een andere waarde uit dan dat mijn annuiteitentabel aangaf. Nadat ik de teller en noemer van de formule had omgedraaid kwam er wel een waarde uit die overeenkwam met mijn annuiteitentabel. Ik heb de formule nu zo aangepast dat hij weer goed is.
Bovenstaande niet-ondertekende bijdrage is hier op 16 feb 2006 15:23 geplaatst door Smaugie.

30-09-2006

Het annuiteit bedrag werd abusievelijk en verwarrend 'aflossing' genoemd. Dat is uiteraard niet correct. de annuiteit is (aflossing + rente)

De nieuwe tekst herhaalde wat al in het begin staat en de formulering was niet duidelijker, dus heb ik de verandering gerevert, maar daarna enigzins aangepast, mi is het nu wel duidelijker. Hajo 30 sep 2006 21:04 (CEST)

Dit hele stuk lijkt geschreven te zijn voor een programmeerbare rekenmachine. Ik heb de formule zo aangepast dat dit ook voor mensen met een gewone rekenmachine te volgen is. Voor uitleg over de werking van de rekenmachine zou ik verwijzen naar een aparte pagina van Texas Instruments of Casio.
Bovenstaande niet-ondertekende bijdrage is hier op 14 aug 2008 14:40 geplaatst door Poon1972.

maandrente

Klopt die berekening onder Voorbeeld 3 nou eigenlijk wel? Waarom is de maandrente niet gewoon de jaarrente / 12? Bart 1 dec 2006 0:45 (CET)

Omdat jaarrente er van uit gaat dat de uitstaande hoofdsom gedurende een jaar constant blijft. Als je iedere maand 1/12 van de jaarlijkse aflossing opzij zou leggen en aan het eind van het jaar het gespaarde bedrag in 1 klap zou betalen, dan is de rente per maand inderdaad 1/12 van de rente per jaar. Maar als je per maand aflost, dan neemt de uitstaande hoofdsom gedurende het jaar af, en betaal je dus iedere maand rente over een iets kleinere hoofdsom. Xyzzy 1 dec 2006 01:05 (CET)

Daar concludeer ik uit dat er kennelijk sprake is van een bepaalde correctie? Maar wat wordt er dan eigenlijk gecorrigeerd? Als ik maandelijks aflos en 1/12 deel van de rente betaal, neemt de uitstaande hoofdsom gedurende het jaar toch ook af? Dan betaal ik de daarop volgende maand ook minder. Bart 1 dec 9:37 (CET)

Bart, wat mij betreft heeft Xyzzy hier een prima antwoord op jouw vraag gegeven. Kan je nauwkeurig aangeven tot welk punt in het verhaal van Xyzzy je het er nog mee eens bent? Bob.v.R 2 dec 2006 01:07 (CET)

Ik snap, denk ik, het hele verhaal van Xyzzy. Alleen zie ik niet waarom dit tot de conclusie leidt dat die specifieke berekening uit Voorbeeld 3 moet worden gedaan om tot de maandrente te komen. In wezen zegt Xyzzy: "De maandelijkse rente wordt lager (minder dan 1/12) omdat de hoofdsom maandelijks afneemt." Terwijl naar mijn idee de (maandelijkse) rente iets is wat los staat van een bepaalde hoofdsom? (Als ik het zou begrijpen, zou ik het vast beter uit kunnen leggen. ;) ) Bart 1 dec 9:37 (CET)

Laat ik het anders benaderen: Stel ik heb een 12-jaarlijkse rente van 48%. Wat is dan de jaarrente? Het lijkt met dan dat: jaarrente = 12-jaarlijkse rente / 12 = 4%. Immers stel dat ik 100.000 Euro leen zonder aflossing dan geldt: (0.48 * 100.000) is gelijk aan ((0.04 * 100.000) * 12). Om de jaarrente te berekenen doe ik dus: 12-jaarlijkse rente / 12.

Stel nou dat we nu een jaarlijkse aflossing in het spel brengen. Volgens Voorbeeld 3 (en Xyzzy) verandert dit de zaak en moeten we de jaarrente nu anders berekenen omdat de uitstaande hoofdsom gedurende de jaren afneemt. Namelijk: ((1 + 12-jaarlijkse-rente / 100) ^1/12 - 1) * 100. Zodoende wordt de jaarlijkse rente dus 3,32% i.p.v. 4%.

Het lijkt mij dat dit onjuist is. De jaarrente is gewoon altijd 4% of er nou wel of geen sprake is van een afnemende hoofdsom. (Het rekening houden met een afnemende hoofdsom geschiedt doordat we steeds 4% rente over de afgenomen hoofdsom betalen.) Hetzelfde zou dus ook voor de maandrente moeten gelden. Om dat te berekenen moet je, lijkt me, gewoon jaarrente / 12 doen. Bart 3 dec 9:37 (CET)

Nog eens nagedacht en met wat mensen overlegd en ik denk dat ik het misschien begrijp. Stel dat ik een vast kapitaal op de bank heb staan en ik wil graag mijn jaarlijkse rente maandelijks betaald krijgen. Als men dan maandelijks 1/12 van de jaarrente neemt, klopt het niet. De 2de maand krijg ik dan immers 1/12 jaarrente over het kapitaal + 1/12 jaarrente over de rente die ik de voorgaande maand heb gekregen. Aan het einde van het jaar zou ik dan teveel rente ontvangen. Om dat te corrigeren moet ik dus waarschijnlijk de berekening uit Voorbeeld 3 doen om tot de juiste maandrente te komen. Aangezien de bank in zo'n geval eigenlijk a.h.w. een lening bij mij heeft lopen, geldt hetzelfde dus ook voor een lening. Vandaar dat de berekening uit Voorbeeld 3 wel klopt. Kan iemand dit bevestigen? Bart 5 dec 0:06 (CET)

Misschien een beetje late reactie van mijn kant, maar je hebt het nu inderdaad door. Xyzzy 16 dec 2006 14:42 (CET)

Alright, thanx. Ik weet nu niet precies hoe dit in zijn werk gaat. Tenzij deze discussie misschien gebruikt kan worden ter aanvulling van het artikel, kan het wat mij betreft verwijderd worden. Bart 22 dec 23:51 (CET)

Discussies op overlegpagina's worden in principe niet verwijderd, Bart. Het kan namelijk heel verhelderend zijn om later nog eens terug te kunnen zoeken waarover al eerder is gediscussieerd, mocht een bepaalde onduidelijkheid of onenigheid weer oplaaien. Groet, Xyzzy 23 dec 2006 22:22 (CET)

Voorbeeld 3 klopt m.i. niet. Bij een annuiteitenhypotheek wordt de rente die per maand verschuldigd is niet bij de totale schuld opgeteld (zoals wel het geval is bij een spaarrekening). Daarom hoeft dus niet 'gecorrigeerd' te worden voor rente op rente. Dus @Xyzzy 1 dec 2006 01:05 (CET) " Omdat jaarrente er van uit gaat dat de uitstaande hoofdsom gedurende een jaar constant blijft." Je hele betoog berust op deze aanname. Waarom gaat de jaarrente hiervan uit? Stel dat je een aflossingsvrije hypotheek hebt van €100.000,-. Dan neemt je hoofdsom niet toe of af. Als je dan per maand 1/12 x 12% rente betaalt, is dat 1%, dus €1.000,-, dus €12.000,- per jaar. Met de formule bij voorbeeld drie is dit minder omdat die er vanuit gaat dat de €1.000,- opgeteld wordt bij de hoofdsom. Als dat zo zou zijn dan zou je hiervoor inderdaad moeten corrigeren om geen rente over rente te betalen. Niels 27 mei 01:19 (CET)

Het probleem in voorbeeld drie is dat men uitgaat van 5.1% per jaar. Dit is 0,425% per maand en geen 0,4154%. De 5.1% is meestal de nominale rente en niet de effectieve rente. Dit loopt door de hele berekening in voorbeeld 3 heen. Som klopt alleen omdat de controle gebeurt met dezelfde foute rente.

Dat is echter geen reden driekwart van de berekening te schrappen.Kleuske (overleg) 13 feb 2011 22:05 (CET)

Voorbeeld 3 klopt niet, inderdaad verwarring over nominale en effectieve rente, de bank zal altijd een nominale rente quote omdat dit lager is (i.e. nominal rente van 5% per jaar is 5%/12 per maand, maar een dit is effectief (1+5%)^12-1 per jaar Overleg 17 jun 2011 15:07 (CET)

Doorverwijzing Engelse Wikipedia

Waarom is dit artikel gelinkt aan het Engelse Wikipedia-artikel over Reverse Mortgage?? Marc1966 30 mrt 2009 13:42 (CEST)

Misschien omdat er in de eerste alinea van dat artikel staat: A reverse mortgage is analogous to an annuity where the principal and interest are paid with homeowner's equity. ? Bob.v.R 31 mrt 2009 04:15 (CEST)

Dat is geen goede reden. Aangepast. Buzz-tardis 20 jul 2010 15:47 (CEST)

Symbool n of k

Ik ben degene die de oorspronkelijke opmerking geplaatst heeft. Jawel, ik heb me inmiddels ingeschreven. Mijn gebruikersnaam is damvanwb.

Onderstaande is door mij verplaatst van het artikel naar deze overlegpagina. --ErikvanB (overleg) 20 nov 2012 21:57 (CET)

In de korte alinea die begint met: "Nu, na 4 keer itereren..." (zowel één keer in de tekst als twee keer in de formule) is het véél correcter het symbool n door het symbool k te vervangen! Het symbool n is immers gereserveerd voor het totaal aantal betalingen, terwijl de formule de restschuld na ELKE betaling weergeeft. Ik krijg (in de formule) het vervangen van n door k echter niet voor elkaar, krijg steeds een foutmelding. Wie helpt?

– De voorgaande bijdrage werd geplaatst door 77.162.71.6 (overleg · bijdragen) 20 nov 2012 21:40‎ (CET)

Inmiddels heb ik de wijziging zelf doorgevoerd. Dat ging deze keer wél probleemloos, het was de vorige keer dus kennelijk een technisch probleempje.
Bovenstaande niet-ondertekende bijdrage is hier op 9 dec 2012 om 21:03 geplaatst door Damvanwb.

Wijzigingen

@Patrick: Ik vind dat je wel veel wijzigingen aan het doorvoeren bent, zondere overleg. Dat is meestal geen goede zaak. De "afleiding" die jij noemt, is geen afleiding, maar een constatereing; daarom heb ik de afleiding gegeven. Madyno (overleg) 2 dec 2013 22:04 (CET)

Je hebt volgens mij over het hoofd gezien dat er een handige indeling was, met een paragraaf over het vermogensverloop bij een periodieke betaling in het algemeen, met een variabele k, maar nog zonder een variabele n waarbij de schuld precies nul is, en met formules die ook gelden als er niet zo'n n is; in de volgende paragraaf wordt n geïntroduceerd. Jou "afleiding" poneert daarom ten onrechte $T=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$. Mijn tekst, hoe kort ook, is wel een afleiding; dat een spaartegoed waarvan de rente niet wordt opgenomen in een meetkundige rij aangroeit, en dat de toenames per keer van het tegoed dan ook een meetkundige rij vormen met reden 1 + i, lijkt me duidelijk, maar kan desnoods iets uitgebreider worden uitgelegd. "Constatering" betekent trouwens dat het zo evident is dat er niets valt af te leiden, dus het bezwaar tegen een constatering zie ik niet. - Patrick (overleg) 2 dec 2013 22:40 (CET)

Omgekeerde richting vooraf?????

Ik heb het gedeelte

De term annuïteit wordt voornamelijk gebruikt bij periodieke betalingen in relatie tot een betaling in omgekeerde richting vooraf, maar verwant is bijvoorbeeld periodiek een vast bedrag sparen, wat dan gerelateerd wordt aan een uiteindelijk opgebouwd kapitaal.

uit de inleiding voorlopig als commentaar verstopt. Ik berijp er niets van. Wie wel?? Madyno (overleg) 5 dec 2013 00:24 (CET)

Een betaling van A aan B is een betaling in omgekeerde richting ten opzichte van een betaling van B aan A. - Patrick (overleg) 5 dec 2013 00:28 (CET)

"betaling in omgekeerde richting vooraf" = "eerdere betaling in omgekeerde richting".- Patrick (overleg) 5 dec 2013 00:32 (CET)

"eenmalige" zou er nog bij kunnen. - Patrick (overleg) 5 dec 2013 00:33 (CET)

Wijzigingen (2)

Ik heb mijn versie weer hersteld. Weliswaar kunnen de formules voor lenen en sparen oop dezelfde manier geformuleerd worden, maar verhelderend is dat niet, zeker niet voor wat ik denk dat degemiddelde lezer is. Het genoemde bezwaar dat een aflossing niet op 0 hoeft uit te komen kan gemakkelijk ondervangen worden. Madyno (overleg) 6 jun 2014 10:54 (CEST)

Hoe er op dit moment zonder enig overleg met de botte bijl op dit artikel wordt ingehakt doet vermoeden dat iemand niet in de gaten heeft dat het hier een samenwerkingsproject betreft. Het zonder overleg verwijderen van grote onderdelen uit dit artikel is bepaald niet bevorderlijk voor een goede samenwerking. Maar goed, ik zal bekijken welke verwijderingen ik weer ongedaan ga maken. Bob.v.R (overleg) 6 jun 2014 20:15 (CEST)

Ik zou liever van een scherpe bijl spreken. Het artikel zag er zeer onoverzichtelijk uit, en was nodig aan revisie toe.

Ik begrijp niet waarom je in een math-formule een eindtag gevolgd door een begintag invoegt. En de formule voor n is correct, al kun je hem natuurlijk op duizend andere manieren schrijven.Madyno (overleg) 6 jun 2014 20:42 (CEST)

Het nadeel van jouw formulering van de formule voor n is dat J er twee keer in voorkomt. Verder is het natuurlijk oke, maar ik had het weer veranderd omdat je blijkbaar een haakje had vergeten, waardoor het er nogal onbegrijpelijk uitzag. Madyno (overleg) 6 jun 2014 20:58 (CEST)

@Bob: wat beoog je met je recente toevoegingen?Madyno (overleg) 10 jul 2014 22:01 (CEST)

Ik had een reactie gegeven op mijn eigen OP. Bob.v.R (overleg) 10 jul 2014 23:13 (CEST)

Zou een opsomming niet overzichtelijker zijn:

begin
schuld $T$

na 1 periode:
rente $iT$
aflossing $J-iT$
schuld $T-(J-iT)=(1+i)T-J$

na 2 perioden:
rente $i(1+i)T-iJ$
aflossing $J-(i(1+i)T-iJ)=(1+i)(J-iT)$
schuld $(1+i)T-J-(1+i)(J-iT)=(1+i)^{2}T-(1+(1+i))J$

na 3 perioden:
rente $i(1+i)^{2}T-i(1+(1+i))J$
aflossing $J-(i(1+i)^{2}T-i(1+(1+i))J)=(1+i)^{2}(J-iT)$
schuld $(1+i)^{2}T-(1+(1+i))J-(1+i)^{2}(J-iT)=(1+i)^{3}T-(1+(1+i)+(1+i)^{2})J$

dus: na 4 perioden:
aflossing $(1+i)^{3}(J-iT)$
schuld $(1+i)^{4}T-(1+(1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3})J=(1+i)^{4}T-{\frac {(1+i)^{4}-1}{i}}J$

na k perioden:
aflossing $(1+i)^{k-1}(J-iT)$
schuld $(1+i)^{k}T-{\frac {(1+i)^{k}-1}{i}}J$

Na n perioden is de schuld 0, dus

$(1+i)^{k}T-{\frac {(1+i)^{k}-1}{i}}J=0,$

zodat

$J={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}T$

Madyno (overleg) 25 jul 2014 23:41 (CEST)

voorstel tot herziening artikel

Dit artikel staat vol eindeloze berekeningen die het er naar mijn idee niet duidelijker op maken. Ik zou er voor zijn als de rekensommen voor het grootste deel verdwijnen en alleen de belangrijkste resultaten blijven.

Daarnaast lijkt de belangrijkste wiskunde hierachter samen te vatten in een volgende recursie-relatie voor de schuld na n perioden,

${\textrm {schuld}}_{n+1}={\textrm {schuld}}_{n}\times {\textrm {rente}}-{\textrm {betaling}},$

waarbij de betaling bij annuïteiten een vast bedrag is. De bijbehorende oplossing is dan

${\textrm {schuld}}_{n}={\textrm {startschuld}}\left[{\frac {{\textrm {rente}}^{l}-{\textrm {rente}}^{n}}{{\textrm {rente}}^{l}-1}}\right]$

waarbij $l$ de looptijd is, ${\textrm {schuld}}_{0}={\textrm {startschuld}}$ het geleende bedrag en ${\textrm {rente}}$ een fractie (1.05 voor 5% rente).

Door dit direct te stellen kan iedereen die dit artikel zou lezen dit direct zelf op zijn/haar sitatie toepassen.

Deze oplossing is eenvoudig af te leiden uit de hiervoor gegeven recursie relatie. Gebruik een iets beknoptere notatie $s$ voor schuld, $r$ voor rente en $b$ voor betaling per periode. Zodat de eerst-gestelde vergelijking te schrijven is als $s_{n+1}=s_{n}r-b$ Deze (inhomogene) vergelijking kan homogeen gemaakt worden door een volgende periode, $s_{n+2}=s_{n+1}r-b$, in te vullen, zodat $s_{n+2}=(1+r)s_{n+1}-rs_{n}$ De karakteristieke vergelijking die hierbij hoort is $\lambda ^{2}-(1+r)\lambda +r=0$, en heeft als oplossingen $\lambda _{1}=2r$ en $\lambda _{2}=2$. Daaruit volgt de algemene vorm $s_{n}=c_{1}r^{n}+c_{2}$. Uit de randvoorwaarden volgt de rest. De startlening is een gegeven, wat oplevert dat $s_{0}=c_{1}+c_{2}$, ofwel $c_{2}=s_{0}-c_{1}$. Verder is looptijd $l$ typisch vast, zodat $c_{1}=s_{0}/(r^{l}-1)$. Invullen van $c_{1}$ en $c_{2}$ geeft dan

$s_{n}=s_{0}{\frac {r^{l}-r^{n}}{r^{l}-1}}$

Bijgevoegd is een plaatje met een plot hiervan (eigen werk) voor een annuïtair afbetaalde lening van € 150,000 met een rente op jaarbasis van 3% en een looptijd van 30 jaar. Het belastingvoordeel hierbij is geschat op 30% van de renteafdracht.

• 

--Jaapkroe (overleg) 24 jun 2015 13:44 (CEST)

Het is mogelijk om te besluiten het artikel te beginnen met kort samengevat de belangrijkste feiten. Het is daarvoor niet nodig om zaken uit het artikel te verwijderen. Bob.v.R (overleg) 24 jun 2015 14:13 (CEST)

Lijkt me een goed idee. Madyno (overleg) 24 jun 2015 14:46 (CEST)

Ja dat lijkt in eerste instantie in ieder geval een goed plan. Misschien kunnen daarnaast verder uitgewerkte details onder uitklapbare subkopjes. --Jaapkroe (overleg) 24 jun 2015 14:56 (CEST)

verwijderd

• http://www.hypotheek-a-b-c.nl/berekening/maandlasten-annuiteitenhypotheek.html ─ onbereikbare kale url verwijderd
• Eenvoudige aflossingstabel op grond van formules van Wikipedia ─ wirwar van Nederlands en Engels

ChristiaanPR (overleg) 22 mrt 2024 02:42 (CET)