Orthopool

In de projectieve meetkunde is de orthopool van een lijn ten opzichte van een driehoek een punt dat met de onderstaande definitie kan worden geconstrueerd. De naam is door J Neuberg geïntroduceerd.

Definitie

Gegeven ΔABC en de lijn $\ell$. De loodlijnen uit A, B en C op $\ell$ snijden $\ell$ in A', B' en C'. De lijnen door A' loodrecht op BC, door B' loodrecht op AC en door C' loodrecht op AB gaan door een punt. Dit punt is de bedoelde orthopool.

Eigenschappen

• De orthopool van $\ell$ ligt op de rechte van Wallace loodrecht op $\ell$.
• Snijdt $\ell$ de omgeschreven cirkel, dan ligt de orthopool op de twee rechten van Wallace van de snijpunten van $\ell$ met de omgeschreven cirkel.
• De orthopool van een lijn door het middelpunt van de omgeschreven cirkel ligt op de negenpuntscirkel. Iedere voetpuntscirkel van een punt op een dergelijke lijn gaat door de orthopool.
• De orthopolen van de lijnen van een volledige vierhoek ten opzichte van de driehoeken gevormd door de andere drie liggen op een lijn.
• De orthopolen van een lijn ten opzichte van de vier driehoeken die kan worden gevormd met hoekpunten van een vierhoek liggen op een lijn.
• De orthopolen van een lijn ten opzichte van de vier driehoeken die kan worden gevormd met zijden uit een volledige vierzijde liggen op een lijn.
• De macht van de orthopool van $\ell$ ten opzichte van voetpuntscirkels van punten P op $\ell$ is constant. Dit is de stelling van Lemoyne.

Literatuur

• D Dixit en D Grinberg. Orthopoles and the Pappus Theorem, 2004. in Forum Geometricorum 4, blz 53-59
• W Gallatly. Modern Geometry of the Triangle, 1913. Londen: Hodgson, hst VI