Macht (meetkunde)

meetkunde

De macht van een punt ten opzichte van een cirkel met middelpunt en straal is gedefinieerd als

fig. 1. Er geldt:

Het begrip werd in 1826 ingevoerd door Jakob Steiner als maat voor hoe ver een punt zich binnen of buiten een cirkel bevindt.

Punten in het inwendige van een cirkel hebben een negatieve macht, in het uitwendige een positieve macht, en voor punten op de cirkel is de macht gelijk aan nul. De kleinste waarde van de macht van een punt is de macht van het middelpunt:

De macht van een uitwendig punt is gelijk aan het kwadraat van de lengte van het raaklijnstuk vanuit aan de cirkel (volgens de stelling van Pythagoras); zie figuur 1:

De meetkundige plaats van de punten met een gegeven macht ten opzichte van een vaste cirkel is een cirkel die concentrisch is met .

EigenschapBewerken

 
fig. 2.  

Voor een lijn door het punt   die een cirkel snijdt in de punten   en  , geldt:

 

waarbij   en   tegengesteld van teken worden geacht als ze tegengesteld gericht zijn (dit is het geval als   binnen de cirkel ligt).

BewijsBewerken

Veronderstel dat   buiten de cirkel ligt.

Voor het bijzondere geval dat de lijn door   gaat, geldt:

 

En dit komt overeen met het gestelde.

Voor het algemene geval is de lijn   een hulplijn bij een (willekeurige) lijn door   die de cirkel snijdt in de punten  . Dan is, en zie figuur 2:

 

omdat dit omtrekshoeken zijn op dezelfde boog. Dus zijn de driehoeken   en   gelijkvormig, zodat

 

en bijgevolg

 

Het geval dat   in het inwendige van de cirkel ligt, kan op analoge manier worden bewezen.

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel met gegeven vergelijkingBewerken

De macht van het punt   ten opzichte van een cirkel met vergelijking

 

is

 

Zie ookBewerken

Externe linkBewerken

  Zie de categorie Power of a point van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.