Nilpotente matrix

In de lineaire algebra heet een vierkante matrix nilpotent als de matrix enige malen met zichzelf vermenigvuldigd de nulmatrix oplevert.

DefinitieBewerken

De  -matrix   heet nilpotent met index   als

  en  .

EigenschappenBewerken

  • De index   van een nilpotente  -matrix is kleiner of gelijk aan  
  • De eigenwaarden van een nilpotente matrix zijn alle gelijk aan 0.
  • Omgekeerd geldt ook dat een matrix waarvan alle eigenwaarden gelijk zijn aan 0, nilpotent is.
  • De determinant en het spoor van een nilpotente matrix zijn 0.
  • Een nilpotente matrix is niet inverteerbaar;
  • Een bovendriehoeksmatrix of benedendriehoeksmatrix, waarvan de elementen op de hoofddiagonaal 0 zijn, is nilpotent.

VoorbeeldenBewerken

Voor de matrix   geldt:  , dus   is nilpotent met index 2

Voor de matrix   geldt:   en  , dus   is nilpotent met index 3.