Füllkrug speelde in de jeugd van Werder Bremen en maakte bij die club ook zijn professionele debuut. Op 28 januari 2012 speelde hij voor het eerst mee met het eerste elftal, toen in de Bundesliga gespeeld werd tegen Bayer Leverkusen. Claudio Pizarro zette Werder op voorsprong, waarna Stefan Reinartz namens de bezoekers voor een gelijkspel zorgde: 1–1. Füllkrug moest van coach Thomas Schaaf als wisselspeler aan het duel beginnen en hij mocht na drieënzestig minuten invallen voor Mehmet Ekici.[1] Füllkrug tekende twee weken na zijn debuut zijn eerste professionele verbintenis bij Werder.[2] Zijn eerste doelpunt volgde anderhalve maand later, toen hij tegen FC Augsburg in de basis mocht starten en na eenenzestig minuten de score opende op aangeven van Lukas Schmitz. Ook deze wedstrijd eindigde in 1–1, door een gelijkmaker van Paul Verhaegh in de blessuretijd van de tweede helft.[3] Het seizoen 2011/12 leverde uiteindelijk elf competitieduels op met één goal en het jaar erop twaalf Bundesligaduels met evenzoveel treffers. Na één wedstrijd in de DFB-Pokal in het seizoen 2013/14 besloot Greuther Fürth de aanvaller op huurbasis over te nemen.[4] Bij zijn nieuwe club baarde hij opzien op 2 november 2013, door op bezoek bij Erzgebirge Aue vier doelpunten te maken, waar Greuther Fürth uiteindelijk met 2–6 zou winnen.[5] Uiteindelijk kwam de Duitser tot zes competitiegoals dat seizoen.
Na zijn terugkeer in Bremen nam 1. FC Nürnberg hem op definitieve basis over, voor circa driehonderdduizend euro.[6] Na twee seizoenen in de 2. Bundesliga werd Füllkrug voor 2,2 miljoen euro aangetrokken door competitiegenoot Hannover 96.[7] Zijn eerste seizoen in Hannover leverde een tweede plaats op, waardoor de club promoveerde naar de Bundesliga. Op het hoogste niveau kwam hij tot veertien doelpunten in vierendertig wedstrijden. Aan het begin van het seizoen 2018/19 raakte Füllkrug geblesseerd aan zijn knie.[8] Hier keerde hij na twee maanden van terug, waarna hij een reeks wedstrijden speelde. De blessure kwam toch terug en eind december werd bekend dat de aanvaller de rest van het seizoen zou moeten missen door de blessure.[9] Aan het einde van het seizoen deed hij nog één wedstrijd mee. In april 2019 maakte Werder Bremen bekend de aanvaller terug te hebben gehaald per juli 2019. Met de transfer zou ongeveer zesenhalf miljoen euro gemoeid zijn.[10] Tijdens zijn eerste twee seizoenen terug bij Werder had Füllkrug last van blessures en in 2021 degradeerde de club naar de 2. Bundesliga. Op dat niveau bleef hij wel fit en hij scoorde negentien keer, mede daardoor werd Werder tweede en promoveerde het direct weer.