Tussenwaardestelling

In de reëelwaardige analyse stelt de tussenwaardestelling dat een reële functie , continu in een gesloten interval , alle mogelijke waarden tussen en aanneemt. Dat heeft de volgende twee gevolgen:

  • Het beeld van een interval van een continue functie is zelf ook weer een interval.
  • De stelling van Bolzano: Een continue functie, die op een interval zowel een negatieve als een positieve waarde aanneemt, heeft op dat interval een nulpunt.
Tussenwaardestelling

Stelling

bewerken

De tussenwaardestelling kan op twee manieren worden geformuleerd.

Tussenwaardestelling voor een waarde

Zij   een continue reëelwaardige functie op het interval   en   een getal tussen   en  , dus

 , indien  

of

 , indien  .

Dan bestaat er een   met  .

In het speciale geval dat   is het de stelling van Bolzano.

Tussenwaardestelling voor een interval

Zij   en   als boven. Dan komen alle waarden tussen   en   in   voor:

 , indien  

of

 , indien  

Voorbeeld

bewerken

De functie   is continu op  . Inderdaad is bij iedere   een   te vinden met  , namelijk  .