Middelpuntzoekende versnelling

Bij een eenparig cirkelvormige beweging wordt de resultante kracht de middelpuntzoekende kracht genoemd. De versnelling die het gevolg is van deze kracht wordt de middelpuntzoekende versnelling genoemd.

DefinitieBewerken

Bij een eenparige beweging zorgt een versnelling voor een snelheidsverandering (dus een eenparig versnelde beweging). Bij een cirkelbeweging verandert de snelheid niet van grootte maar alleen van richting. De cirkelbeweging ís eenparig in grootte. De versnellingsvector staat steeds loodrecht op de richtingsvector van de snelheid: de richting van de beweging verandert voortdurend.

Volgens de eerste wet van Newton (de traagheidswet) neigt een voorwerp rechtdoor te gaan (niet van snelheid en richting te veranderen), in het geval van een cirkelbaan langs een raaklijn aan de baan. Maar door de middelpuntzoekende kracht die geleverd wordt door bijvoorbeeld een touw blijft het voorwerp in zijn cirkelbaan. Men kan de middelpuntzoekende versnelling die bij deze kracht hoort als volgt berekenen:

 

Het wordt herleid:

 

De versnelling a is gelijk aan middelpuntzoekende kracht.

 

Waarbij geldt:

  •   is de middelpuntzoekende versnelling in  
  •   is de snelheid in  
  •   is de straal in  
  •   is de hoeksnelheid in  . (Rad is radiaal.)
  •   is de omlooptijd in  
  •   is pi, de constante van Archimedes

Vectorieel kan men ook schrijven:

a = ω x v

AfleidingBewerken

Deze formule werd het eerst afgeleid door Christiaan Huygens met behulp van gelijkvormige driehoeken. Onderstel dat een deeltje met éénparige snelheid langs een cirkelbaan met straal   beweegt van punt   naar punt   over een infinitesimale afstand gedurende infinitesimale tijd  . Omdat   infinitesimaal is verwaarlozen we het lengteverschil tussen de cirkelboog   en de afstand   tussen   en  . Middelpunt van de cirkelbaan is  .

De ene driehoek is  . Deze driehoek is gelijkbenig, want   , de straal van de cirkelbaan.

In   resp., in   heeft het deeltje snelheid   resp.,  . Deze snelheidsvectoren zijn gelijk in grootte, maar niet in richting. Is de infinitesimale snelheidsverandering   , dan geldt vectorieel dat  . (N.B.: de vector   wijst naar  , dus de gezochte versnelling ook.)

De tweede gelijkbenige driehoek heeft zijden   ,  , en  .

De vectoren   en   raken aan de cirkel in   resp.,   en staan daar dus loodrecht op de voerstralen   en  . Hieruit volgt dat de hoeken ingesloten door enerzijds   en   en anderzijds   en   gelijk zijn en de twee driehoeken dientengevolge gelijkvormig.

Omdat overeenkomstige zijden dan dezelfde verhouding hebben geldt dat

 

Maar dan geldt ook, dat

 

en dus

 

Omdat   en   vinden we tenslotte dat

 

ReferentiesBewerken