Een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is een speciaal geval van een lineaire differentiaalvergelijking , die in de vorm
d
y
d
x
+
p
(
x
)
⋅
y
=
q
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)\cdot y=q(x)}
geschreven kan worden, met
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
en
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
beide continue functies op het open interval
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
.
De algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking
d
y
d
x
+
p
(
x
)
⋅
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)\cdot y=0}
is
y
(
x
)
=
K
exp
(
−
∫
c
x
p
(
ξ
)
d
ξ
)
{\displaystyle y(x)=K\exp \left(-\int _{c}^{x}p(\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)}
en een particuliere oplossing is
y
(
x
)
=
∫
c
x
q
(
ξ
)
exp
(
−
∫
ξ
x
p
(
η
)
d
η
)
d
ξ
{\displaystyle y(x)=\int _{c}^{x}q(\xi )\,\exp \left(-\int _{\xi }^{x}p(\eta )\,\mathrm {d} \eta \right)\,\mathrm {d} \xi }
met
c
{\displaystyle c}
een willekeurig punt van het domein.
Indien
p
{\displaystyle p}
constant is (zoals bij een lineair tijdinvariant continu systeem , LTC-systeem, met
x
{\displaystyle x}
de tijd) reduceert dit tot het volgende (zie ook eerste-ordesysteem ).
De algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking
d
y
d
x
+
p
⋅
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p\cdot y=0}
is
y
(
x
)
=
K
e
−
p
x
{\displaystyle y(x)=Ke^{-px}}
(exponentiële afname of exponentiële groei )
en de particuliere oplossing met
y
(
c
)
=
0
{\displaystyle y(c)=0}
is
y
(
x
)
=
∫
c
x
q
(
ξ
)
e
−
p
(
x
−
ξ
)
d
ξ
=
∫
c
x
q
(
ξ
)
e
p
(
ξ
−
x
)
d
ξ
{\displaystyle y(x)=\int _{c}^{x}q(\xi )\,e^{-p(x-\xi )}\,\mathrm {d} \xi =\int _{c}^{x}q(\xi )\,e^{p(\xi -x)}\,\mathrm {d} \xi }
met
c
{\displaystyle c}
een willekeurig punt van het domein. Bij een LTC-systeem is dit op een constante na het outputsignaal bij
q
{\displaystyle q}
als inputsignaal, de convolutie van q en de impulsrespons (
e
−
p
x
{\displaystyle e^{-px}}
vanaf
x
=
0
{\displaystyle x=0}
).
De oplossingsmethode kan op diverse manieren beschreven worden. Een mogelijke oplossingsmethode bestaat uit het omvormen tot twee differentiaalvergelijkingen die elk apart worden opgelost met de methode van scheiden van veranderlijken .
Zoek een zogenaamde integratiefactor
r
(
x
)
{\displaystyle r(x)}
, waarvoor geldt:
r
⋅
p
(
x
)
=
d
r
d
x
{\displaystyle r\cdot p(x)={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} x}}}
Vermenigvuldig de beide leden van de differentiaalvergelijking met
r
{\displaystyle r}
:
r
d
y
d
x
+
r
⋅
p
(
x
)
⋅
y
=
r
⋅
q
(
x
)
{\displaystyle r\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+r\cdot p(x)\cdot y=r\cdot q(x)}
oftewel:
r
d
y
d
x
+
y
d
r
d
x
=
r
⋅
q
(
x
)
{\displaystyle r\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+y\,{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} x}}=r\cdot q(x)}
,
dus
d
(
r
y
)
d
x
=
r
⋅
q
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (ry)}{\mathrm {d} x}}=r\cdot q(x)}
Los eerst de vergelijking voor
r
{\displaystyle r}
op:
r
′
r
=
p
(
x
)
{\displaystyle {\frac {r'}{r}}=p(x)}
zodat na integratie:
r
(
x
)
=
C
⋅
exp
(
∫
p
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle r(x)=C\cdot \exp \left(\int p(x)\,\mathrm {d} x\right)}
De integratieconstante
C
{\displaystyle C}
kan ook weggelaten worden, omdat die wegvalt in de uiteindelijke oplossing.
Dan volgt voor
y
{\displaystyle y}
:
y
=
1
r
(
x
)
[
∫
r
(
x
)
q
(
x
)
d
x
+
K
]
{\displaystyle y={\frac {1}{r(x)}}\left[\int r(x)q(x)\,\mathrm {d} x+K\right]}
De differentiaalvergelijking:
d
y
d
x
−
3
y
x
=
x
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-3{\frac {y}{x}}=x^{4}}
is lineair van eerste orde. Voor de integratiefactor geldt:
d
r
d
x
=
−
3
r
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} x}}=-3{\frac {r}{x}}}
Met als oplossing:
r
=
x
−
3
{\displaystyle r=x^{-3}}
De algemene oplossing is dus:
y
(
x
)
=
x
3
[
∫
x
−
3
x
4
d
x
+
K
]
=
x
3
(
1
2
x
2
+
K
)
{\displaystyle y(x)=x^{3}\left[\int x^{-3}x^{4}\,\mathrm {d} x+K\right]=x^{3}({\tfrac {1}{2}}x^{2}+K)}