Homogene differentiaalvergelijking

Een homogene differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking van eerste orde, met een algemene vorm die kan geschreven worden als:

waarin en beide een homogene veelterm in en zijn, met gelijke graad .

Dit is wiskundig equivalent met een andere algemene vorm, die men regelmatig vindt:

waarbij dan homogeen van orde nul is. In dit artikel wordt de eerste hierboven vermelde algemene vorm behandeld. Het Engelstalige artikel over dit onderwerp doet hetzelfde, maar dan voor de tweede algemene vorm.

OplossingsmethodeBewerken

Gezien   en   beide homogeen zijn met dezelfde graad levert de substitutie:

 

de vergelijking:

 

Hierin kan nu de factor met de  -de macht van   worden weggedeeld. Na vervolgens de termen wat te herschikken vindt men:

 

of korter:

 

Door scheiden van veranderlijken krijgt men:

 

De algemene oplossing is bijgevolg:

 

met   een willekeurige constante, en waarin ten slotte de variabele   weer dient te worden vervangen door

 

Het uiteindelijke resultaat is een familie impliciete functies van   en  , waarbij de aanwezigheid van de willekeurige reële factor   voor het oneindige aantal oplossingen zorgt.

VoorbeeldBewerken

De vergelijking:

 

is homogeen van orde 1. Na substitutie   wordt dit:

 

en ten slotte:

 

zodat de algemene oplossing wordt:

 

na subsitutie   kan dit verder worden omgewerkt tot de familie van impliciete functies:

 

Een herleidbaar gevalBewerken

Een differentiaalvergelijking van de vorm:

 

kan worden herleid tot een homogene differentiaalvergelijking door een lineaire verschuiving van het assenkruis, zowel in de x-richting als in de y-richting. De mate waarin wordt verschoven wordt bepaald door de oplossing van het stelsel:

 
 

VoorbeeldBewerken

Bij de vergelijking:

 

levert dit stelsel een oplossing:

 

De subsititutie

 

maakt van deze differentiaalvergelijking een homogene van graad 1:

 

Zie ookBewerken

Alternatieve methoden om vergelijkingen van de vorm   of   op te lossen.