Particuliere oplossing

In de wiskunde, in het bijzonder in de theorie van differentiaalvergelijkingen, wordt een willekeurige oplossing van een differentiaalvergelijking een particuliere oplossing genoemd. De bijhorende gedachte is dat die particiuliere oplossing leidt tot het opsporen van de hele oplossingsverzameling, de zogenaamde algemene oplossing. Dat is speciaal het geval bij (niet-homogene) lineaire differentiaalvergelijkingen.

AchtergrondBewerken

Een lineaire differentiaalvergelijking kan geschreven worden als:

 ,

met   een lineaire operator en   een bekende functie.

Als een oplossing bekend is, de particuliere oplossing  , kan elke andere oplossing verkregen worden als de som van deze particuliere oplossing en een oplossing   van de bijbehorende homogene vergelijking

 

Er geldt immers:

 

In veel gevallen kunnen alle oplossingen van de homogene vergelijking met standaardmethoden gevonden worden, en hoeft er alleen nog gezocht te worden naar een particuliere oplossing om alle oplossingen te kennen.

VoorbeeldBewerken

Beschouw de lineaire niet-homogene differentiaalvergelijking

 

De bijhorende homogene differentiaalvergelijking luidt

 

De algemene oplossing van de homogene vergelijking (d.i. de kern van de differentiaaloperator  ) luidt

 

Een particuliere oplossing van de oorspronkelijke, niet-homogene vergelijking is

 

De algemene oplossing van de niet-homogene vergelijking luidt dus

 

Voor technieken om particuliere en homogene oplossingen op te sporen verwijzen we naar het artikel over differentiaalvergelijkingen.