Kwadratuurformule van Gauss

De kwadratuurformule van Gauss is een methode om een integraal numeriek te benaderen. De kwadratuurformule van Gauss levert van alle numerieke integratiemethodes de hoogste algebraïsche nauwkeurigheid op. De methode is bedacht door Carl Friedrich Gauss en door hem gepubliceerd in 1814.[1] De vorm met orthogonale polynomen, zoals die tegenwoordig gehanteerd wordt, stamt uit 1826 en is afkomstig van Carl Jacobi.[2]

Gauss-LegendrekwadratuurformuleBewerken

De Gauss-Legendrekwadratuurformule (GLK-formule) is een speciaal geval van de kwadratuurformule van Gauss. Ze dient om de integraal van een functie   te berekenen over het interval  . Dat gebeurt door de gewogen som te nemen van de functiewaarden   in bepaalde steunpunten   (abscissen). Het aantal abscissen dat in rekening wordt gebracht door de GLK-formule van graad   is gelijk aan  .

De abscissen die worden gekozen, liggen vast per graad   van GLK-formule en liggen symmetrisch rond 0. Het zijn de oplossingen van de legendreveeltermen van de volgende graad  .

De gewichten   in de som van functiewaardes, liggen vast per graad   en per abscis  . Ze kunnen berekend worden uit de abscissen   en de legendreveeltermen   van graad   aan de hand van volgende formule:

 

De GLK-formule van graad   heeft een nauwkeurigheidsgraad van  . Dat betekent dat een GLK-formule van graad   een veelterm van graad   exact kan integreren. De hoge nauwkeurigheidsgraad, vergeleken met andere numerieke integratiemethodes, is een gevolg van de orthogonaliteit van de legendreveeltermen op het interval  .

AchtergrondBewerken

De achterliggende gedachte van de kwadratuurformule van Gauss is de integraal van een functie te benaderen door de gewogen som van de functiewaarden in een aantal zogeheten steunpunten  :

 

Dit blijkt goed mogelijk te zijn, als de functie benaderd kan worden door een polynoom van voldoend hoge graad

 

en voor elke   de steunpunten en de gewichten   eenmalig zo gekozen kunnen worden dat de benadering exact is voor polynomen van maximaal de graad  [3]:

 

Bovendien is de benadering voor andere functies in bepaalde zin met deze keuze optimaal.

De benaderende polynoom wordt geschreven als een lineaire combinatie van polynomen uit een rij orthogonale polynomen  , met   van de graad  , en orthogonaliteit met betrekking tot het inproduct

 

Voor de polynomen geldt dan:

 , d.w.z. 0 voor   en 1 voor  

Omdat   en  , is

 

en

  voor  

Dus is ook voor  :

 

Door deze eisen zijn de polynomen vastgelegd.

Elke polynoom   van de graad   is een lineaire combinatie van de polynomen  :

 

waarin

 

immers:

 

Er blijft dus nog de gewichten   en steunpunten   te bepalen zo, dat voor  

 

Voor het steunpunt   neemt men de  -de wortel van  , dan ontstaat voor de gewichten een stelsel van   lineaire vergelijkingen (van de   vergelijkingen is die voor   triviaal).

  voor  
 

De vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot het stelsel:

  voor  

Voor de zo bepaalde steunpunten en gewichten geldt nu dat inderdaad:

 
 

UitbreidingBewerken

De methode kan worden uitgebreid tot een- of tweezijdig onbegrensde intervallen en inproducten van de vorm:

 ,

waarin de functie   een geschikte wegingsfuntie is en de benadering van de vorm is:

 

Orthogonale polynomenBewerken

Voor elk interval en gewichtsfunctie is er een stelsel orthogonale polynomen. In onderstaande tabel staan enkele mogelijkheden opgesomd.

FormuleBewerken

De integraal van de functie   met gewichtsfunctie   wordt door de kwadratuurformule als volgt benaderd:

 

Daarin

  • is   een polynoom van de graad   en vormen de polynomen   een voor de integraal orthonormaal stelsel, dus:
 
  • zijn   de nulpunten van  
  • is   de coëfficiënt van   in  
  • stelt   de afgeleide van   voor
  • is   de kroneckerdelta, dus 1 als   en 0 als  

Orthogonale stelsels polynomenBewerken

Tabel
Integratiegrenzen gewichtsfunctie polynomen
       
      Legendre-polynoom
      Jacobi-polynoom
      Chebyshev-polynoom
eerste soort
      Chebyshev-polynoom
tweede soort
      Hermite-polynoom
      laguerrepolynoom
      geassocieerd
laguerrepolynoom

De coëfficiënten van de polynomen en van hun afgeleiden zijn evenals hun nulpunten in een tabel te vinden.

VoorbeeldBewerken

Op het interval   vormen de Legrendre-polynomen een orthogonaal stelsel. Voor   is de genormeerde versie

 

Deze polynoom is kwadratisch in  , dus zijn de nulpunten van de vorm

 ,

dus

 
 

De vergelijkingen voor de gewichtsfactoren zijn:

 
 
 ,

waaruit volgt

  en  
 
 

Dus is

 

zodat

  en  

Als benadering voor de integraal

 

geeft Gauss-kwadratuur:

 

De gewichtsfactoren kunnen ook met de genoemde formule berekend worden:

 

Nu is

 

en

 

dus

 

en

 .

Invullen levert:

 
 
 

Omdat   een nulpunt is van  , is  , met als gevolg:

 
 
 
 
 
 

ReferentiesBewerken

  1. Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Comm. Soc. Sci. Göttingen Math., deel 3, 1815, 29-76, Gallica, (gedateerd 1814)
  2. Jacobi Ueber Gauß’ neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden. Journal für Reine und Angewandte Mathematik, deel 1, 1826, 301-308, Online
  3. Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3e druk), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3

Externe linkBewerken