In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), de oplossingen van de differentiaalvergelijking van Laguerre:

De oplossing is een polynoom van de graad n, het n-de de laguerre-polynoom, laat zich volgens de rodriguez-formule weergeven als

Laguerre-polynomen vinden een toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.

Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij de orde van de polynoom wordt aangeduid met n! (n faculteit), in plaats van n.

Eerste Laguerre-polynomenBewerken

 
De eerste 5 laguerre-polynomen.


n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  

RecursieBewerken

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

 

en

 

OrthogonaliteitBewerken

Laguerre-polynomen zijn orthogonaal ten opzichte van elkaar met betrekking tot het volgende inproduct:

 

ContourintegraalBewerken

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

 

Gegeneraliseerde laguerre-polynomenBewerken

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

 

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

 

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

 

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

 

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken