Laguerre-polynoom

(Doorverwezen vanaf Laguerre-polynomen)

In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), oplossingen van de -de differentiaalvergelijking van Laguerre:

De eerste 5 laguerre-polynomen.

Laguerre-polynomen vinden toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.

DefinitieBewerken

De  -de laguerre-polynoom   is een polynoom van de graad   die gegeven wordt door de rodriguez-formule:

 

Voor de zo gedefinieerde laguerre-polynomen geldt:

 

Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij  -de laguerre-polynoom een factor   (  faculteit) groter is.

De eerste laguerre-polynomen zijn:

   
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  

RecursieBewerken

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

 

en

 

OrthogonaliteitBewerken

Laguerre-polynomen vormen een orthonormaal stelsel met betrekking tot het inproduct:

 

Er geldt:

 

met

  de kronecker delta

ContourintegraalBewerken

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

 

Gegeneraliseerde laguerre-polynomenBewerken

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

 

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

 

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

 

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

 

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken