Kubusgetal

In de rekenkunde en de algebra is een kubusgetal een natuurlijk getal dat de derde macht is van een natuurlijk getal. Het natuurlijke getal is dus een kubusgetal als er een natuurlijk getal is, zodanig dat:

De eerste tien kubusgetallen zijn:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, …[1]

Een kubusgetal is een figuratief getal, waarvan de naam afgeleid is van de meetkundige vorm van de kubus. Een aantal bolletjes ter grootte van een kubusgetal kan opgestapeld worden tot een kubus. Zo laat zich bijvoorbeeld een kubus met ribbe 3 (bolletjes) opbouwen met behulp van 27 bolletjes.

Een volgend kubusgetal wordt verkregen door bij de kubus met bolletjes 3 vlakken met bolletjes, 3 ribben met bolletjes en nog een hoekpunt van 1 bolletje te plaatsen. Daaruit volgt de recursieve betrekking tussen de opeenvolgende kubusgetallen;

EigenschappenBewerken

Uit de opeenvolgende blokken van een, twee, drie, vier, vijf, … oneven natuurlijke getallen in klimmende reeks kan men door sommering kubusgetallen laten ontstaan:

 

Hieruit blijkt dat elk kubusgetal n3 de som is van n opeenvolgende oneven getallen.

Uitgaande van de rij van de gecentreerde zeshoeksgetallen: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, … verkrijgt men het  -de kubusgetal als de som van de eerste   elementen van de rij:

 

De som van de eerste   kubusgetallen is gelijk aan het kwadraat van het  -de driehoeksgetal:

 

Elk natuurlijk getal kan als de som van ten hoogste negen kubusgetallen weergegeven worden (oplossing van het probleem van Waring voor de macht 3). Dat er 9 sommanden nodig kunnen zijn laat het getal 23 zien. Dit getal kan worden weergegeven als

 ,

maar het zal duidelijk zijn dat het niet met minder kubusgetalsommanden kan.

Kubusgetallen als som van rijen[2]Bewerken

Elk kubusgetal   is de som van een rekenkundige rij van   getallen, met als eerste element   en als verschil  :

  • 23 = 2 + 6
  • 33 = 3 + 9 + 15
  • 43 = 4 + 12 + 20 + 28
  • 53 = 5 + 15 + 25 + 35 + 45
  • 63 = 6 + 18 + 30 + 42 + 54 + 66
  • 73 = 7 + 21 + 35 + 49 + 63 + 77 + 91 ...

Elk kubusgetal   is ook de som van een rekenkundige rij van   getallen, met als eerste element   en als verschil 2 (zoals hierboven reeds aangegeven):

  • 23 = 3 + 5
  • 33 = 7 + 9 + 11
  • 43 = 13 + 15 + 17 + 19
  • 53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
  • 63 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41
  • 73 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 ...

Elk kubusgetal   is verder ook de som van een rekenkundige rij van   getallen, met als eerste element   en als verschil 8:

  • 23 = 0 + 8
  • 33 = 1 + 9 + 17
  • 43 = 4 + 12 + 20 + 28
  • 53 = 9 + 17 + 25 + 33 + 41
  • 63 = 16 + 24 + 32 + 40 + 48 + 56
  • 73 = 25 + 33 + 41 + 49 + 57 + 65 + 73 ...
 
De som van alle getallen in een vierkant van   op   vakjes, linksboven verankerd in deze oneindig uitbreidbare tabel, is gelijk aan de derdemacht van  

Elk kubusgetal   is bovendien ook de som van een rekenkundige rij van   getallen, met als eerste element   en als verschil  :

  • 23 = 3 + 5
  • 33 = 6 + 9 + 12
  • 43 = 10 + 14 + 18 + 22
  • 53 = 15 + 20 + 25 + 30 + 35
  • 63 = 21 + 27 + 33 + 39 + 45 + 51
  • 73 = 28 + 35 + 42 + 49 + 56 + 63 + 70...

Ieder getal in zo een rij is zelf de som van   opeenvolgende getallen; bijvoorbeeld voor 53:

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6
25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7
30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8
35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9

Een kubusgetal   is dus de som van alle getallen in een   op   vierkant met in de eerste rij de getallen 1 tot en met   en waarin de getallen in een volgende rij steeds één hoger zijn dan het getal erboven. De som van de getallen op de diagonalen van dit vierkant is het kwadraatgetal  .

Een alternatieve manier om dit uit te drukken is: als   de som van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met   is, dan is

 

Deze eigenschap is voor het eerst in 1763 door Georg Christoph Lichtenberg opgemerkt.[3]

Externe linkBewerken