Probleem van Waring

Het probleem van Waring is een probleem binnen de getaltheorie bedacht door Edward Waring. Hij vroeg zich af of er voor ieder positief geheel getal een geheel getal is, zodat ieder natuurlijk getal te schrijven is als som van -de machten. Zo is ieder getal te schrijven als som van 4 kwadraten, 9 derde-machten of 19 vierde-machten.

Het getal g(k)Bewerken

Voor ieder getal   is   gedefinieerd als het kleinst mogelijke getal  s met de bovengenoemde eigenschap. De vier-kwadratenstelling van Lagrange zegt dat ieder getal kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Drie kwadraten is niet mogelijk aangezien 7 = 4+1+1+1. Zo heeft 23 negen derde-machten nodig: 23 = 8+8+1+1+1+1+1+1+1.

Euler veronderstelde dat  , waarin   het gehele deel van   is (zie entierfunctie). Tegenwoordig is   voor de meeste getallen   bekend:

 

Het getal G(k)Bewerken

Belangrijker nog dan   is het getal  . Dit is het getal zodat ieder voldoende groot getal kan worden geschreven als som van    -de machten. Dit wil zeggen dat er een getal   is zodat ieder getal groter dan   zo kan worden geschreven.

Ondergrens voor G(k)Bewerken

Het getal   is groter dan of gelijk aan:

  •   als   met   of  ;
  •   als   een priemgetal groter dan 2 is en  ;
  •   als   een priemgetal groter dan 2 is en  ;
  •   voor alle getallen  .

Bovengrens voor G(k)Bewerken

De volgende bovengrenzen zijn bekend voor  :

          3   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14   15   16   17   18   19   20
     7  17  21  33  42  50  59  67  76  84  92  100  109  117  125  134  142