Hoofdmenu openen

Waterstofatoom

atoom van waterstof
Het 1H-atoom in de isotopentabel

Een waterstofatoom is een atoom van het chemische element waterstof. Het elektrisch neutrale atoom bevat een positief geladen proton en een negatief geladen elektron, dat aan de kern wordt gebonden door de coulombkracht. De meest voorkomende isotoop, protium (ook waterstof-1 of lichte waterstof genoemd), bevat geen neutronen; andere isotopen van waterstof, zoals deuterium en tritium, bevatten respectievelijk een en twee neutronen.

Waterstofatoom als modelsysteem in de kwantummechanicaBewerken

Het waterstofatoom is het eenvoudigste realistische systeem dat zich laat behandelen met de kwantummechanica. Omdat het een tweedeeltjesprobleem is, en de twee deeltjes (het elektron en het proton waar het omheen "cirkelt") op de schaal van het atoom als puntmassa's kunnen worden beschouwd, kan onder die (in de praktijk alleszins redelijke) aanname een exacte oplossing gegeven worden voor de schrödingervergelijking (het waterstofatoom is daarmee ook het enige atoom waarvoor men de schrödingervergelijking exact kan oplossen). Op die manier heeft men nauwkeurige kwantitatieve voorspellingen kunnen doen die een van de redenen vormen dat de kwantummechanica als succesvolle natuurkundige theorie ingang heeft gevonden.

 
Het zichtbare deel van de Balmerreeks

Onder meer de frequenties van verschillende series spectraallijnen (met name de Balmerreeks en de Lymanreeks) kunnen op deze manier worden berekend uit "eerste beginselen", waar voorheen alleen empirische formules voorhanden waren.

De orbitaalstructuur van waterstof is in de theoretische chemie en computationele chemie nog steeds een belangrijk theoretisch en praktisch hulpmiddel bij het beschrijven van de elektronenstructuur van andere atomen en van moleculen (al kan men de vergelijkingen voor dergelijke systemen niet meer exact oplossen, zelfs niet in de Born-Oppenheimerbenadering).

Oplossing van de schrödingervergelijkingBewerken

De schrödingervergelijking voor de golffunctie   van het elektron dat met constante energie   in het coulombveld van de atoomkern golft, is

 

De laplaciaan   wordt uitgeschreven in bolcoördinaten en voor de golffunctie worden de variabelen gescheiden:  

De vergelijking kan dan zo geschreven worden dat de linkerkant alleen van   afhangt en de rechterkant alleen van de hoekcoördinaten  . Linker en rechterkant zijn dus constant. De schrödingervergelijking valt uiteen in twee vergelijkingen, een voor   en een voor  :

 

en

 

Deze vergelijkingen hebben alleen de constante gemeen die geschreven wordt als  . De tweede vergelijking heeft dan voor   bolfuncties   als oplossing. Voor elke   zijn er   oplossingen, aangeduid met de index  .

De eerste vergelijking wordt omgevormd door een reeks substituties. Dat gaat het eenvoudigst als de vergelijking geschreven wordt in atomaire eenheden[1]. Substitutie van  ,   en vervolgens   levert ten slotte

 

waarvan de oplossing   bekend is uit de theorie van Laguerre polynomen. Voor elke   zijn er oneindig veel oplossingen  , namelijk voor elke gehele  .

Het resultaat in gewone eenheden is:

 
 
  zijn sferisch harmonischen
  de bohrstraal van het H-atoom,   de fijnstructuurconstante,   en
  gegeneraliseerde laguerre-polynomen.

De kwantumgetallen kunnen de volgende waarden hebben:

 
 
 

Alleen deze oplossingen van de schrödingervergelijking zijn acceptabele golffuncties: genormeerd, eenwaardig en eindig.

EnergieniveausBewerken

De energieniveaus van het elektron hangen alleen van   af

  eV,

negatief omdat het energie kost om het elektron uit het atoom te verwijderen. Ze bepalen het waterstofspectrum. De frequenties van de Lymanreeks zijn

  voor  ,

voor de Balmerreeks

  voor  ,

enz.   PHz;   is de Rydbergconstante.

Golffuncties voor n=1 en n=2Bewerken

Grondtoestand

 

Eerste aangeslagen toestand

 
 
 

CorrectiesBewerken

Bovenstaand model is een zeer goede benadering hoewel de massa van de atoomkern   oneindig groot verondersteld is vergeleken met   en relativistische correcties niet verrekend zijn.

De eindige atoomkernmassa kan eenvoudig in de formules gecorrigeerd worden door   te vervangen door de gereduceerde massa  .

Door relativistische correcties zijn de energieniveaus niet meer alleen van   afhankelijk. De spectraallijnen hebben een fijnstructuur.

Waterstofachtige ionenBewerken

Het model geldt ook voor 1-elektron ionen He⁺, Li²⁺ enz. met kernlading Ze als in de schrödingervergelijking e² vervangen wordt door Ze². In de oplossing verandert a0 in a0/Z en En krijgt er een factor Z² bij. De energieniveaus zijn dan een factor Z² dieper.