Geodetische afbeelding

In de wiskunde, speciaal in de differentiaalmeetkunde, is een geodetische afbeelding een afbeelding die geodeten behoudt.

Definitie

Een afbeelding $\varphi :M\to N$, tussen twee (pseudo-)Riemann-variëteiten $(M,g)$ en $(N,h)$ wordt een geodetische afbeelding genoemd, als

• $\varphi$ een diffeomorfisme is van $M$ op $N$, en
• het beeld onder $\varphi$ van een geodetische boog in $M$ een en geodetische boog in $N$ is, en
• ook omgekeerd het beeld onder de inverse $\varphi ^{-1}$ van een geodetische boog in $N$ een geodetische boog in $M$ is,

Voorbeelden

Laat $(M,g)$ en $(N,h)$ beide de euclidische ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ zijn met de gewone riemann-metriek. Dan is iedere eclidische isometrie een geodetische afbeelding van $\mathbb {R} ^{n}$ op zichzelf.

Analoog is voor $(M,g)$ en $(N,h)$ beide de $n$-dimensionale eenheidssfeer $S_{n}$ met de gebruikelijke bolmetriek, iedere isometrie van de sfeer een geodetische afbeelding van $S_{n}$ op zichzelf.

De gnomonische projectie van de hemisfeer op het vlak is een geodetische afbeelding, omdat grootcirkels op lijnen worden afgebeeld en omgekeerd lijnen op grootcirkels.

Zij $(D,g)$ de eenheidsschijf in $\mathbb {R} ^{2}$ uitgerust met de euclidische metriek, en $(D,h)$ de eenheidsschijf uitgerust met de hyperbolische metriek van het Poincaré-model in de hyperbolische meetkunde. Hoewel de twee structuren diffeomorf zijn door middel van de identiteit $i_{D}$, is $i_{D}$ geen geodetische afbeelding, omdat geodeten in de zin $h$ rechte lijnen in $\mathbb {R} ^{2}$ zijn, terwijl geodeten in de zin $g$ gebogen kunnen zijn.

Wordt daarentegen de hyperbolische metriek op $D$ gegeven door het Beltrami-Klein-model, dan is de identiteit $i_{D}$ wel een geodetische afbeelding, aangezien hyperbolische geodeten in het Beltrami-Klein-model euclidische rechte lijnsegmenten zijn.

Referenties

• Ambartzumian, R. V. (1982). Combinatorial integral geometry. John Wiley & Sons Inc., New York, xvii+221. ISBN 0-471-27977-3.
• Kreyszig, Erwin (1991). Differential geometry. Dover Publications Inc., New York, xiv+352. ISBN 0-486-66721-9.

Externe link

• MathWorld: Geodesic mapping