Gebruiker:Thunderbird2/Benadering WKB

In het natuurkunde is de benadering WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) , of WKBJ (Wentzel-Kramers-Brillouin-Jeffreys) benadering het meest voorkomende voorbeeld van en semiklassieke berekening in de kwantummechanica. De golffunctie wordt eerst geschreven als an exponentiële functie, met een langzaam veranderende amplitude of fase.

De methode werd voor het eerst in 1923 door wiskundig Harold Jeffreys ontwikkeld. Drie jaar daarna, in 1926, werd precies dezelfde methode ontwikkeld voor een tweede keer, maar dan door natuurkundigen Wentzel, Kramers, en Brillouin, waarvan de naam WKB komt. Het blijkt dat Wentzel, Kramers en Brillouin het werk van Jeffreys niet kenden, waardoor wordt het werk van Jeffreys vaak niet erkend.

In de eerste jaren van de ontwikkeling van de kwantummechanica werden, in plaats van "WKB", diverse afkortingen door elkaar gebruikt, zoals WBK, BWK, WKBJ en BWKJ.

Derivatie

De Schrödingervergelijking

De één dimensionale, tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking is

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)$

of

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)$

De golffunctie kan geschreven worden als exponentiële functie, met argument Φ

$\Psi (x)=e^{\Phi (x)}\!$

en dus

$\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$.

De afgeleide $\Phi '(x)$ kan separaat geschreven worden als reële en imaginaire delen door het gebruik van de reële functies A and B:

$\Phi '(x)=A(x)+iB(x)\;$

Reële en imaginaire delen

De golffunctieamplitude is dus $e^{A(x)}$, terwijl de fase wordt $B(x)$. De Schrödingervergelijking wordt

$A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$

De rechte kant van de differentiaalvergelijking voor Φ is reëel, en dus

$B'(x)+2A(x)B(x)=0\;$.

Als volgende stap wordt de semiklassieke benadering gebruikt. Dit betekent dat elke functie wordt als een machtreeks in $\hbar$ geschreven . Nu blijkt het, om de reële delen te kunnen vergelijken, dat de machtreeks moet ten minste met graad min 1 (orde $\hbar ^{-1}$) beginnen .

Om een goede klassieke limiet te kunnen bereiken is het nodig met zo hoog mogelijk orde van de constante van Planck te beginnen

$A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x)$

$B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)$.

Tot eerste orde kunnen de voorwarden op A en B als

$A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)$

en

$A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;$

geschreven worden .

De golffunctie

Als de amplitude voldoende langzaam veranderd in vergelijking met de fase ($A_{0}(x)=0$) volgt het dat

$B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}$,

wat alleen geldt als de totale energie groter is dan de potentiële energie, zoals bijna altijd is het geval voor klassieke beweging. Na dezelfde procedure op de volgende orde volgt het dat

$\Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{i\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}$

Aan de andere kant, als het de fase is die langzaam varieert (in vergelijking met de amplitude) ($B_{0}(x)=0$) volgt het dat

$A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}$,

wat alleen geldt als de potentiële energie groter is dan de totale energie (de regime van het tunneleffect). Weer op de volgende orde geeft:

$\Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}$

Globale benadering en Besselfuncties

Het blijkt uit de noemer dat die twee benaderingen in de regio van het klassieke stationaire punt niet kunnen toegepast worden, want daar geldt $E=V(x)$. Deze benaderingen gelden ver van de potentiële heuvel en ook daar beneden. Ver van de heuvel, het gedeeltje lijkt als een vrije golf (namelijk, de fase oscilleerd). Beneden de potentiële heuvel, de amplitude van het deeltje varieerd als en exponentiële functie.

Om een globale benadering te kunnen bereiken, moeten de lokale benaderingen moeten overal gevonden worden. De benadering in de regio van de klassieke stationaire punten $E=V(x)$ is nog te bepalen.

Voor een stationair punt $x_{1}$ en dichtbij $E=V(x_{1})$, ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$ mag geëxpandeerde worden als machtreeks.

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots$

Op de eerste orde, wordt gevonden

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)$.

Die differentiaalvergelijking wordt als de vergelijking van Airy bekent. Zijn oplossing mag in termen van Airyfuncties geschreven worden (een Airyfunctie is een bepaalde soort Besselfunctie). Het kan getransformeerd worden in Besselse differentiaalvergelijking met fractiële orde, met oplossing:

$\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{+{\frac {1}{3}}}J_{+{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)+C_{-{\frac {1}{3}}}J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)\right)$

Deze oplossing zou moeten tussen de ver- en dichtbij-oplossingen een verbinding maken. Gegeven de twee coefficienten aan één kant van het klassieke stationaire punt, kunnen de twee aan de andere kant berekend worden. Daardoor wordt gevonden een relatie tussen $C_{0},\theta$ en $C_{+},C_{-}$.

Gelukkig de Airy- of Bessel-functieoplossingen worden asymptotisch sinus, cosinus en exponentiële functies in de juiste limieten. De relaties kunnen worden gevonden as volgt vaak "verbindingformulas" genoemd):

$C_{+}={\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}$

$C_{-}=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}$

Nu mogen de globale benaderingen gebouwd worden.

Zie ook

• Airyfunctie
• tunneleffect
• Methode steepest descent / methode Laplace
• Perturbatiemethodes

Referenties

• Razavy, Moshen (2003). Quantum Theory of Tunneling. World Scientific. ISBN 981-238-019-1.
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Liboff, Richard L. (2003). Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Sakurai, J. J. (1993). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2.

Externe links

• Richard Fitzpatrick, The W.K.B. Approximation (2002). (een toepassing van de benadering WKB naar de verstrooiing van radiogolven.)
• Free WKB library for Microsoft Visual C v6 for some special functions

[[Category:Theoretical physics]] [[Category:Asymptotic analysis]]