Gauss-kwadratuur is een door Carl Friedrich Gauss bedachte en door hem in 1814 gepubliceerde methode (kwadratuur).[1] om een integraal numeriek te benaderen. Gauss-kwadratuur levert van alle numerieke integratiemethodes de hoogste algebraïsche nauwkeurigheid op. De vorm met orthogonale polynomen, zoals die tegenwoordig gehanteerd wordt, stamt uit 1826 en is afkomstig van Carl Jacobi.[2]

Achtergrond bewerken

De achterliggende gedachte van gauss-kwadratuur is de integraal van een functie te benaderen door de gewogen som van de functiewaarden in een aantal zogeheten steunpunten  :

 

Dit blijkt goed mogelijk te zijn, als de functie benaderd kan worden door een polynoom van voldoend hoge graad

 

en voor elke   de steunpunten en de gewichten   eenmalig zo gekozen kunnen worden dat de benadering exact is voor polynomen van maximaal de graad  [3]:

 

Bovendien is de benadering voor andere functies in bepaalde zin met deze keuze optimaal.

De benaderende polynoom wordt geschreven als een lineaire combinatie van polynomen uit een rij orthogonale polynomen met betrekking tot het inproduct

 

Er is nog een vrij keuze wat de norm van de polynomen betreft, en een geschikte keuze is de polynomen normeren op 1, zodat ze een orthonormaal stelsel vormen.

Omdat   en  , is

 

en

  voor  

Dus is ook voor  :

 

Door deze eisen zijn de polynomen vastgelegd.

Elke polynoom   van de graad   is een lineaire combinatie van de polynomen  :

 

waarin

 

immers:

 

Er blijft dus nog de gewichten   en steunpunten   te bepalen zo, dat voor  

 

Voor het steunpunt   neemt men de  -de wortel van  , dan ontstaat voor de gewichten een stelsel van   lineaire vergelijkingen (van de   vergelijkingen is die voor   triviaal, aangezien  ).

  voor  
 

De vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot het stelsel:

  voor  

Voor de zo bepaalde steunpunten en gewichten geldt nu dat inderdaad:

 
 

Gauss-legendrekwadratuur bewerken

Gauss-legendrekwadratuur (GLK) is een speciaal geval van gauss-kwadratuur. Ze dient om de integraal van een functie   over het interval   numeriek te benaderen. Dat gebeurt door de gewogen som te nemen van de functiewaarden   in bepaalde steunpunten  . Het aantal steunpunten in de GLK-formule van graad   is  .

 

De steunpunten zelf liggen bij een bepaalde graad   van GLK vast en liggen symmetrisch rondom de oorprong 0. Het zijn de wortels van de legendreveelterm van de graad  . Ze zijn niet equidistant. Dat betekent dat de afstand tussen twee opeenvolgende punten   en   niet altijd dezelfde is. Daarmee onderscheidt GLK zich van andere numerieke integratiemethoden die meestal wel equidistante steunpunten hebben.

De gewichten   liggen ook vast bij een bepaalde graad  . Ze kunnen berekend worden uit de legendreveelterm   van graad  :

 

Gauss-legendrekwadratuur van graad   heeft een nauwkeurigheidsgraad van  . Dat betekent dat GLK van graad   een veelterm van graad   exact kan integreren. De hoge nauwkeurigheidsgraad, vergeleken met andere numerieke integratiemethodes, is een gevolg van de orthogonaliteit van de legendreveeltermen op het interval  .

Uitbreiding bewerken

De methode kan worden uitgebreid tot een- of tweezijdig onbegrensde intervallen en inproducten van de vorm:

 ,

waarin de functie   een geschikte wegingsfuntie is en de benadering van de vorm is:

 

Formule bewerken

De integraal van de functie   met gewichtsfunctie   wordt door de kwadratuurformule als volgt benaderd:

 

Daarin

  • is   een polynoom van de graad   en vormen de polynomen   een voor de integraal orthonormaal stelsel, dus:
 
  • zijn   de nulpunten van  
  • is   de coëfficiënt van   in  
  • stelt   de afgeleide van   voor
  • is   de kroneckerdelta, dus 1 als   en 0 als  

Gauss-laguerrekwadratuur bewerken

Gauss-laguerrekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval   en gewichtsfunctie  . Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de laguerre-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als

 

Gauss-hermitekwadratuur bewerken

Gauss-hermitekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval   en gewichtsfunctie   . Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de hermite-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als

 

Voorbeeld bewerken

Op het interval   vormen de legrendre-polynomen een orthogonaal stelsel. Voor   is de genormeerde versie

 

Deze polynoom is kwadratisch in  , dus zijn de nulpunten van de vorm

 ,

dus

 
 

De vergelijkingen voor de gewichtsfactoren zijn:

 
 
 ,

waaruit volgt

  en  
 
 

Dus is

 

zodat

  en  

Als benadering voor de integraal

 

geeft Gauss-kwadratuur:

 

De gewichtsfactoren kunnen ook met de genoemde formule berekend worden:

 

Nu is

 

en

 

dus

 

en

 .

Invullen levert:

 
 
 

Omdat   een nulpunt is van  , is  , met als gevolg:

 
 
 
 
 
 

Referenties bewerken

  1. Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Comm. Soc. Sci. Göttingen Math., deel 3, 1815, 29-76, Gallica, (gedateerd 1814). Gearchiveerd op 30 november 2022.
  2. Jacobi Ueber Gauß’ neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden. Journal für Reine und Angewandte Mathematik, deel 1, 1826, 301-308, Online
  3. Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3e druk), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3

Externe links bewerken