F-ruimte

In de functionaalanalyse, een onderdeel van de wiskunde, is een F-ruimte een topologische vectorruimte waarop onder meer de open afbeeldingsstelling van toepassing is. F-ruimten zijn generalisaties van fréchet-ruimten.

DefinitieBewerken

Een F-ruimte is een topologische vectorruimte waarvan de topologie afkomstig is van een translatie-invariante metriek en die (als metrische ruimte) volledig is.[1]

Een metriek   heet translatie-invariant als de afstand tussen twee willekeurige punten ongewijzigd blijft bij het verschuiven van de twee punten over eenzelfde vector. Dus als voor alle  

 

Deze definitie generaliseert die van een fréchet-ruimte, doordat geen lokale convexiteit meer geëist wordt. Deze terminologie is niet universeel: sommige auteurs eisen geen lokale convexiteit bij fréchet-ruimten, en andere nemen lokale convexiteit op in de definitie van een F-ruimte.[2]

VoorbeeldenBewerken

 
Dit tweedimensionale model geeft een idee waarom de oneindigdimensionale   voor   niet lokaal convex zijn. De eenheidsbol in   voor de afstandsfunctie   is een niet-convexe figuur afgebakend door een astroïde

Alle fréchet-ruimten, en dus in het bijzonder alle banachruimten, zijn F-ruimten.

Voorbeelden van F-ruimten die niet lokaal convex zijn, worden geleverd door de  -ruimten van meetbare (reëel- of complexwaardige) functieklassen op het interval   voor gegeven vaste   met  .

De functie

 

is een translatie-invariante metriek op  , en   is een volledige metrische ruimte, maar deze ruimte heeft geen enkele convexe open deelverzameling behalve de lege verzameling en de ruimte zelf.[3]