F-ruimte

In de functionaalanalyse, een onderdeel van de wiskunde, zijn -ruimten een bepaalde soort van topologische vectorruimten waarop onder meer de open afbeeldingsstelling van toepassing is. Ze vormen een veralgemening van Fréchet-ruimten.

DefinitieBewerken

Een  -ruimte is een topologische vectorruimte waarvan de topologie afkomstig is van een translatie-invariante metriek die (als metrische ruimte) volledig is.[1] Hierbij heet een metriek   translatie-invariant als de afstand tussen twee willekeurige punten ongewijzigd blijft bij het verschuiven van de twee punten over eenzelfde vector:

 

Deze definitie veralgemeent die van een Fréchet-ruimte doordat geen lokale convexiteit meer geëist wordt. Deze terminologie is niet universeel: sommige auteurs eisen geen lokale convexiteit bij Fréchet-ruimten, en anderen nemen lokale convexiteit op in de definitie van een  -ruimte.[2]

VoorbeeldenBewerken

 
Dit tweedimensionale model geeft een idee waarom de oneindigdimensionale   voor   niet lokaal convex zijn. De eenheidsbol in   voor de afstandsfunctie   is een niet-convexe figuur afgebakend door een astroïde

Alle Fréchet-ruimten, en dus in het bijzonder alle Banachruimten, zijn  -ruimten.

Voorbeelden van  -ruimten die niet lokaal convex zijn, worden geleverd door de  -ruimten van meetbare (reëel- of complexwaardige) functieklassen op het interval   voor gegeven vaste   met  

De functie

 

is een translatie-invariante metriek op  , en   is een volledige metrische ruimte, maar deze ruimte heeft geen enkele convexe open deelverzameling behalve de lege verzameling en de ruimte zelf.[3]