Open afbeeldingsstelling

In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is de open afbeeldingsstelling, ook wel bekend als de stelling van Banach-Schauder (vernoemd naar Stefan Banach en Juliusz Schauder), een fundamenteel resultaat, dat stelt dat iedere continue lineaire afbeelding tussen banachruimten die surjectief is, ook een open afbeelding is.

Oorspronkelijke vormBewerken

Banach[1] formuleert de stelling in termen van rijen in F-ruimten, dat zijn topologische vectorruimten waarvan de topologie wordt voortgebracht door een volledige tranlatie-invariante metriek. Elke banachruimte is per definitie een F-ruimte.

Als een continue lineaire afbeelding   een F-ruimte   surjectief afbeeldt op een F-ruimte  , en   is een rij in   die convergeert naar  , dan bestaat er een rij   in   die naar   convergeert en zodanig is dat voor elke   geldt dat  .

Alternatieven en generalisatiesBewerken

Een herformulering met open verzamelingen, hier in het geval van banachruimten, luidt:[2]

Zij   een surjectieve continue lineaire afbeelding tussen banachruimten, dan is het beeld onder   van een open deel van   steeds een open deel van  .

Het bewijs maakt gebruik van de categoriestelling van Baire, en de volledigheid van zowel   als   is van essentieel belang voor deze stelling. De bewering in deze stelling gaat niet langer op als een van beide ruimten slechts een genormeerde vectorruimte is, maar is waar als zowel   als   als fréchet-ruimten worden genomen.

De rol van baire-categorieën wordt uitdrukkelijker in de volgende generalisatie:[3][4]

Als   een continue lineaire afbeelding is van een F-ruimte   naar een topologische vectorruimte  , en   is van de tweede categorie in  , dan is  , en tevens is   eveneens een F-ruimte en   een open afbeelding.