Driehoeksgetal
Een driehoeksgetal is een type veelhoeksgetal. Een driehoeksgetal kan grafisch worden weergegeven door een aantal stippen in een gelijkzijdige driehoek die gelijkmatig met die stippen wordt gevuld.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/N%C3%BAmeros_triangulares.png/240px-N%C3%BAmeros_triangulares.png)
Aangezien drie stippen in de vorm van een gelijkzijdige driehoek kunnen worden gelegd, is het getal 3 dus een driehoeksgetal. Het -de driehoeksgetal is het aantal stippen in een driehoek waarbij stippen op één zijde liggen. 3 is daarmee het tweede driehoeksgetal. Het eerste tiental driehoeksgetallen bestaat uit de gehele getallen:[1]
De eerste zes hiervan worden in de figuur rechts weergegeven, waarbij het -de driehoeksgetal niet meetelt.
Een getal dat zowel een driehoeksgetal als een kwadraatgetal is, is een driehoekskwadraatgetal.
Definitie
bewerkenHet -de driehoeksgetal is de som van de gehele getallen tot en met . In formule:
Met behulp van de somformule van Gauss volgt:
Dit is geschreven als binomiaalcoëfficiënt:
Toelichting
bewerkenDe binomiaalcoëfficiënt is het aantal combinaties van 2 elementen uit een totaal van elementen. Die combinaties kunnen als volgt onderverdeeld worden:
- Element 1 van de elementen wordt gekozen. Voor het tweede element blijven er dan nog mogelijkheden over.
- Element 1 wordt niet gekozen, maar wel element 2. In dat geval zijn er voor het tweede element nog mogelijkheden.
- De elementen 1 en 2 worden niet gekozen, maar wel element 3. Dan zijn er voor het tweede element nog mogelijkheden.
- Zo voortgaande is te zien dat het totale aantal combinaties gelijk is aan:
Eigenschappen
bewerken- Het -de driehoeksgetal is gelijk aan het aantal kanten in een volledige graaf met knopen.
- Een getal is een driehoeksgetal dan en slechts dan als een kwadraat is.
- De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een kwadraat, bijvoorbeeld .
- De som van de eerste driehoeksgetallen is gelijk aan het -de tetraëdergetal.
- Ieder natuurlijke getal, behalve 0, is te schrijven als som van ten hoogste drie driehoeksgetallen. Dit is in 1796 door Gauss bewezen.[2] Deze eigenschap is een bijzonder geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat.
- De som van alle omgekeerde driehoeksgetallen is:
- Dit volgt uit de telescoopsom: