Telescoopsom

In de wiskunde is een telescoopsom een partiële som van een rij getallen waarvan de termen zo in twee delen zijn gesplitst dat van opeenvolgende termen een van de delen wegvalt tegen een deel van de vorige term en dat daarbij het resterende deel weer wegvalt tegen een deel van de daarop volgende term. De hele som schuift als het ware als een telescoop in elkaar, waarna alleen een deel van de eerste en een deel van de laatste term overblijven.[1][2] De opsplitsing houdt in dat de termen bestaan uit de successieve verschillen van twee opeenvolgende termen van een andere rij getallen.

De techniek die gebruikt wordt om een deel van een term te laten wegvallen tegen een deel van de daaropvolgende term, wordt wel methode van verschillen of telescoopprocedure genoemd.[3]

Voorbeeld

Gegeven is de getallenrij , met als algemene term:

Deze term kan gesplitst worden in:

De rij van de partiële sommen van is dan:

Het komt er dus telkens op neer dat, bij juiste splitsing van de termen, alleen het eerste deel van de eerste term en het laatste deel van de laatste term van zo’n partiële som overblijven.[4]

DefinitieBewerken

Is   een getallenrij, dan heet   met

 

een telescoopsom.

De sommen zijn de partiële sommen van de reeks   met

 

Uitwerking geeft:

 

Ook is eenvoudig in te zien dat:

 


Convergentie

Uit dit laatste blijkt dat de rij   dan en slechts dan convergent is, als de rij   convergent is. Of ook:

 

ToepassingBewerken

De eigenlijke toepassing van de telescoopsom is het vinden van de juiste opsplitsing, waarmee de partiële sommen tot telescoopsommen worden.

Andere voorbeeldenBewerken

Meetkundige rij

Voor de meetkundige rij   geldt voor gehele waarden van  :

 

Ook hierbij is dus sprake van een telescoopsom.

Een som van faculteiten

Er geldt bij het gebruik van de faculteitsfunctie:

 

Immers, met vervanging van de factor   door   is:

 
Een som van sinussen

Volgens een goniometrische identiteit, namelijk een van de formules van Simson, is:

 

Daarvan gebruik makend en uitgaande van de identiteit:

 

blijkt met   dat:

 

Dus is, bijvoorbeeld:

 

(On)eindig productBewerken

Dezelfde techniek als hierboven kan worden toegepast op (on)eindige producten waarvan de algemene factor van de vorm   is. De telescoopprocedure geeft in dit geval:

 
Voorbeeld

Met   en substitutie van   volgt uit bovenstaande uitdrukking van  :

 

Gevolg: Met   en   is dan:

 

De formule, die hieruit volgt:

 

is de formule van Morrie.[5]

Opmerking. Geen van de waarden in het linkerlid van deze identiteit is rationaal; het rechterlid is dat echter wel.

Voorbeeld

Hierna staat als toepassing een oneindig product.

 

Externe linksBewerken