Covariantiematrix

Een covariantiematrix is in de kansrekening en statistiek een matrix met als elementen de paarsgewijze covarianties van een $m$-tal toevalsvariabelen of hun schattingen.

Populatie

Betreft het de populatie, en worden de $m$ toevalsvariabelen $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}$ voorgesteld door de vector $X$, dan is de covariantiematrix:

$\mathrm {cov} (X)=(\mathrm {cov} (X_{r},X_{k}))=\mathrm {E} ((X-\mathrm {E} X)(X-\mathrm {E} X)^{T})$,

dus een $m\times m$-matrix $\mathrm {cov} (X)$ met als $rk$-e element:

$(\mathrm {cov} (X))_{rk}=\mathrm {cov} (X_{r},X_{k})$

Steekproef

Gaat het om een steekproef van omvang $n$ uit de populatie van de $m$ toevalsvariabelen $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}$, dan wordt als schatter van de bovengenoemde covariantiematrix $\mathrm {cov} (X)$ vaak de (steekproef)covariantiematrix $C$ berekend, bepaald door de schattingen van de elementen van $\mathrm {cov} (X)$, dus:

$C_{rk}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i}(x_{ri}-x_{r\,\cdot })(x_{ki}-x_{k\,\cdot }),$

waarin een stip als index aangeeft dat over de betrokken index gemiddeld is.

Eigenschappen

• Een (reële) covariantiematrix is symmetrisch en positief semi-definiet.
• Op de hoofddiagonaal van de covariantiematrix staan de varianties van de afzonderlijke toevalsvariabelen.
• Voor een $m\times m$-matrix $A$ geldt: $\mathrm {cov} (AX)=A\ \mathrm {cov} (X)A^{T}$.
• Voor verschuiving over een vector $b$ geldt: $\mathrm {cov} (X+b)=\mathrm {cov} (X)$.
• Als $X$ en $Y$ ongecorreleerde vectoren van toevalsvariabelen zijn, geldt: $\mathrm {cov} (X+Y)=\mathrm {cov} (X)+\mathrm {cov} (Y)$.

Zie ook

• Simultane verdeling
• Multivariate normale verdeling